Exemplo Paradigmático

Tratemos um exemplo simples, o decaimento radioativo. Nesse caso é conhecida a solução analítica. Com isto, poderemos também avaliar o erro cometido na integração numérica. A equação diferencial que rege o decaimento radioativo é dada por:

$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$ (2)

onde $N$ é o número de núcleos radioativos no instante $t$ e $\lambda$ é uma constante associada ao núcleo em questão. A interpretação física desta equação é simples: a taxa de decaimento de uma amostra radioativa com $N$ núcleos depende diretamente do número de núcleos radioativos existentes.

Suponha que no instante $t=0$ haja $N_0$ núcleos radioativos. A partir da equação diferencial que define o problema, eq. 2, pode-se também determinar a taxa de decaimento neste instante: $-\lambda N_0$. Para um $\Delta t$ adequado, pode-se então determinar o número de átomos radioativos ao final deste intervalo:

$$N(\Delta t)\simeq-\lambda N_0 {\Delta t} + N_0$$ (3)

$N(\Delta t)$ é o número de núcleos radioativos em um tempo $t=\Delta t$ após $t=0$, definiremos então, $N(\Delta t)=N_1$ e utilizaremos este valor para calcular, com o mesmo procedimento, $N_2$, a partir de $N_1$.

$$N_2=N_1-\lambda N_1 \Delta t$$

Este procedimento pode ser repetido (no computador fica mais fácil...) para obtermos sucessivamente, os diferentes valores de $N_{i+1}$ a partir do anterior $N_{i}$.

$$N_{i+1}=N_i-\lambda N_i \Delta t   ;     t=(i+1)\Delta t$$ (4)

A equação 4 fornece uma lista de número de núcleos radioativos presentes na amostra para diferentes tempos. No computador o sinal de igualdade significa atribuição e você usaria a equação 4 como cerne de um laço na forma (fortran):
...
do $i=1,j$
$N=N*(1.-\lambda*dt)$
$t=i*dt$
...
end do
...
Esse procedimento é conhecido como método de Euler explícito.