Trabalho 1 : Determinção da massa de Júpiter pelo movimento de suas luas

Trabalho 2 : Determinação da órbita de Marte
 
 

Isaac Newton

• Descobriu as leis que regem os movimentos dos corpos em geral (leis de Newton)
• Estendeu as leis dos movimentos dos corpos na Terra aos corpos celestes: Lei da Gravitação Universal
  
  
  Simulação das leis de Kepler generalizadas por Newton
  

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  Questões de revisão	Auto-teste	Fazer o problema 10 da 2.a lista. .

  
   

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  Leis de Kepler generalizadas
  texto completo

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  1.a Lei de Kepler na forma de Newton:

  (Não vamos deduzir)
   
  

  As únicas órbitas possíveis para um corpo interagindo gravitacionalmente com outro são as secções cônicas: círculo, elipse, parábola ou hipérbole.

  
   

  A lei das órbitas elípticas dos planetas é uma consequência do tipo de força (F ∝ 1/r²) que atua entre os planetas e o Sol.
   

  Círculo Elipse Parábola Hipérbole
  
  
  • Um círculo pode ser pensado como uma elipse com e = 0 e a = b
  • Uma parábola pode ser pensada como uma elipse com e = 1 e a = ∞
  • Uma hipérbole pode ser pensada como uma elipse com e > 1 e a < 0
  Se o corpo tiver movimento periódico, como os planetas, sua trajetória será circular ou elíptica; se o movimento for não periódico, como é o caso de alguns cometas e asteróides, a trajetória será parabólica ou hiperbólica.

  O fator decisivo sobre o tipo de órbita é a energia do sistema.

  • energia <0 → órbita elíptica ou circular
  • energia = 0 → órbita parabólica
  • energia >0 → órbita hiperbólica
    
    
     

    Figura tirada de Wikipedia
     
     

    Equação da elipse:
     

    
    
      Área da elipse:

    A = πab

    
     

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    2.a lei de Kepler na forma de Newton:
     

    dA/dt = h/2 = constante

    onde h = momentum angular por unidade de massa
    

    Dedução:

    
    
      A área descrita pela linha reta (r) unindo o ponto P a F, quando ele se desloca até Q, é aproximadamente a área de um triângulo de base rΔθ e altura r.

    ΔA = 1/2 r rΔθ
    Em um tempo Δt:
    ΔA/Δt = 1/2 r²Δθ/Δt
    O momentum angular é definido como:
    L = r × mv  →  L = rmv_t = m r² Δθ/Δt

    Onde chamamos v_t à componente de v na direçã perpendicular a r.

    Comparando a expressão de ΔA/Δt com a expressão de L, vemos que:

    ΔA/Δt = 1/2 L/m

    que é constante porque o momentum angular e a massa são constantes.

    
      Portanto:

    A lei das áreas de Kepler é uma consequência direta da lei de conservação do momentum angular.
     

    Considerando um intervalo de tempo infinitesimal, e adotando h = L/m, a 2.a lei de Kepler fica:

    dA/dt = h/2

    Integrando a equação acima em um período orbital completo temos:

    ∫dA = h/2∫dt

    ou

    A = h/2 P

    Como a área da elipse é

    A = πab (área da elipse)

    Logo o momentum angular por unidade de massa é:

    h= 2πab/P

    
    

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    3.a lei de Kepler na forma de Newton:
    

    Dedução no parágrafo "Derivação da constante K", no capítulo Newton

    
     
    

    Para qualquer conjunto de sistemas interagindo gravitacionalmente, podemos escrever:

    M1K1=M2K2=.....=MnKn=4π2⁄G

    onde M = massa do sistema e K = P²⁄a³

    A 3.a lei de Kepler, nesta forma, permite determinar massas de corpos astronômicos.
    

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    Velocidade orbital

    Do conceito de momentum angular:

    h= r2 d(θ)/dt = v r sen(θ)

    No periélio:

    h = v_p r_p =v_p a(1 - e) =

    Portanto

    v_p = h/[a(1-e)] = 2piab/P[a(1-e)]
    (Fazer o exercício 8 da 3.a lista para mostrar que
    v_p = 2πa/P√[(1+e)/(1-e)]
    
    
    

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    Equação da energia
     
    

    Considerando um sistema de dois corpos interagindo gravitacionalmente, onde

    m₁ e m₂ são as massas dos corpos

    v₁ e v₂ são suas velocidades

    r é a distância entre ele

    Sabendo que a energia total se conserva nesse sistema,

    Energia total = 1⁄2(m1v12) + 1⁄2(m2v22) - Gm1m2 ⁄ r = constante

    Da conservação do momentum linear total:

    m1v1=m2v2 (onde assumimos momentum linear total = 0)

    Então:

    v₁=m₂v₂/m₁ e v₂=m₁v₁/m₂ (1)
    
    

    Definindo

    v= velocidade relativa=v1+v2
    
    

    Podemos escrever:

    v₁=v - v₂ e v₂=v - v₁ (2)
    
    

    Substituindo (2) em (1) podemos escrever:

    v1=[m2/(m1+m2)]v e v2=[m1/(m1+m2)]v
    
    

    Substituindo na equação da energia total:

    
    Energia total = m1m2/(m1+m2)[v²/2 - G(m1+m2)/r]
    
    

    Calculando o valor da energia total no periélio, onde

    r = a(1-e) e v² = 4π²a²/P²[(1+e)/(1-e)]
    e lembrando que P² = [4π²/G(m1+m2)]a³

    Encontramos que a energia total vale:

    E = -Gm1m2/2a

    E a equação da energia fica:

    v² = G (m1+m2)[2/r - 1/a]

    
     

    Casos especiais:
      

    1. Velocidade para órbita circular:
        

       Na órbita circular a = r, e substituindo na equação da velocidade temos:

       v²circ = G (m1+m2)[2/r - 1/r] = G (m1+m2)/r →

       vcirc = √G(m1+m2)/r

       Para uma órbita circular, a energia total é negativa, já que:

       E = -Gm1m2/2r < 0

       
        
    2. Velocidade para órbita parabólica:
        

       Na órbita parabólica a = ∞, substituindo na equação da velocidade temos:

       v²esc = G (m1+m2)[2/r - 1/∞] = 2G(m1+m2)/r →

       vesc = √2G(m1+m2)/r

       Para uma órbita parabólica, a energia total é nula, pois:

       E = -Gm1m2/∞ = 0

    
     

    Questões de revisão

    Exercícios sugeridos: 2, 6, 8 e 9 da3.a lista de exercícios

    Auto-teste

    Veja mais exercícios simples sobre gravitação em: http://www.fisicalegal.net/exercicios/gravitacao/gravitacao2.html

    Diário de classe	Página da disciplin a

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