Isaac Newton
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Leis de Kepler generalizadas
1.a Lei de Kepler:
(Não vamos deduzir)
|
As únicas órbitas possíveis para um corpo interagindo gravitacionalmente com outro são as secções cônicas: círculo, elipse, parábola ou hipérbole; planetas têm órbitas elípticas. |
A lei das órbitas elípticas dos planetas é uma consequência do tipo de força
(F ∝ 1/r2) que atua entre os planetas e o Sol.
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbole
O fator decisivo sobre o tipo de órbita é a energia do sistema.
Figura tirada de Wikipedia
| A = πab |
| O momentum angular dos planetas em relação ao Sol é constante, portanto dA/dt = h/2 = constante |
onde
Dedução:
(1)Definição de momentum angular:onde o produto vetorial × é tal que o vetor resultante é perpendicular ao plano definido pelos dois vetores envolvidos na operação, e tem módulo igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo seno do angulo entre eles.
ou seja, se o ângulo entre r e v é α,então:
L = rmv senα
Se v são paralelos, r × v = 0
(2) Prova de que o momentum angular de um planeta em relação ao Sol é constante:
dL/dt = d( r × p )/dt = (dr/dt × p + r ×(dp/dt) = dv ×p + r ×(dp/dt) = r ×F
Se F
tem a mesma direção de r, como é o caso da força gravitacional, então
r ×F= 0
→ dL/dt = 0 e L = constante.
(3) Prova de que o módulo do momentum angular do planeta é igual à área varrida pela linha reta que o liga ao Sol
Considerando a figura abaixo:
Onde chamamos vt à componente de v na direção perpendicular a r. para um intervalo de tempo Δt pequeno, vt pode ser aproximado pelo pedaço da órbita percorrido durante esse tempo, que é igual ao arco subtendido pelo ângulo Δθ, ou seja:
Comparando a expressão de ΔA/Δt com a expressão de L, vemos que:
que é constante porque o momentum angular e a massa são constantes.
Portanto:
A lei das áreas de Kepler é uma consequência direta da lei de
conservação do momentum angular.
Considerando um intervalo de tempo infinitesimal, e adotando h = L/m, temos:
| dA/dt = h/2 |
Integrando a equação acima em um período orbital completo temos:
ou
Como a área da elipse é
Logo o momentum angular por unidade de massa é:
| h= 2πab/P |
Derivação da "Constante" k
e similarmente para m2.
Para que os corpos permaneçam em órbitas, as forças precisam ser idênticas:
e
Eliminando-se 
na primeira e 
na segunda e somando-se, obtemos:
ou:
Isso nos diz que a "constante" K, definida como a razão
,
só é constante realmente se 
permanece constante.
Isso é o que acontece no caso dos planetas do sistema solar;
como todos planetas têm massa muito menor do que a massa do Sol,
já que o maior planeta, Júpiter, tem quase um milésimo da massa do Sol,
a soma da massa do Sol com a massa do planeta é
sempre aproximadamente a
mesma, independente do planeta. Por essa razão Kepler, ao formular sua
3a lei, não percebeu a dependência com a massa.
Mas, se considerarmos sistemas onde os corpos principais são diferentes,
então as razões
serão diferentes. Por exemplo,
todos os satélites de Júpiter têm praticamente a mesma razão
,
que portanto podemos considerar
constante entre elas, mas essa constante é diferente da razão
comum aos planetas do sistema solar.
Para qualquer conjunto de sistemas interagindo gravitacionalmente, podemos escrever:
| M1K1=M2K2=.....=MnKn=4π2⁄G |
onde M = massa do sistema e K = P2⁄a3
A terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton, permite determinar massas de corpos astronômicos, desde que esse corpo tenha outro orbitando-o, de maneira que se possa medir o período do sistema e a separaçã entre os dois corpos.
A massa medida será sempre a massa do sistema (soma da massa dos dois corpos), mas se um deles muito muito mais massivo do que o outro, pode-se considerar que a massa medida é a massa do corpo maior (quando M+m ∼ M)
Equação da energia
Considerando um sistema de dois corpos interagindo gravitacionalmente, onde
Conservação da energia no movimento orbital: Chamando W o trabalho realizado pela força gravitacional sobre um corpo que se move entre dois pontos A e B:
Para calcular o valor dessa equação, observamos que:
F.dx= m dv/dt . vdt = m(v.dv) = d(mv2/2)
A equação do trabalho fica: WAB = ∫AB F.dx= ∫AB d(mv2/2) = (mv2/2)B - (mv2/2)A = ECB- ECA
onde EC = energia cinética. Por outro lado, como a força que está atuando é a força gravitacional entre dois corpos m1 e m2, temos que:
F.dx= - G m1 m2/r2. dr = d( G m1 m2/r)
e a equação do trabalho fica:
W = (G m1 m2/r)B - (G m1 m2/r)A = EPA - EPB
onde EP = energia potencial = Gm1 m2/r
Combinando as duas equações do trabalho encontradas:
ECB- ECA = EPA - EPB
ECB+ EPB = ECA + EPA
E chamando E = EC + EP = Energia total do sistema
Sabendo que a energia total se conserva nesse sistema,
| Energia total = 1⁄2(m1v12) + 1⁄2(m2v22) - Gm1m2 ⁄ r = constante |
Da conservação do momentum linear total:
Então:
Definindo
Como
Substituindo (2) em (1) podemos escrever:
Substituindo na equação da energia total:
Calculando o valor da energia total no periélio, onde
Encontramos que a energia total vale:
| E = -Gm1m2/2a |
E a equação da energia fica:
| v² = G (m1+m2)[2/r - 1/a] |
Casos especiais:
Na órbita circular a = r, e substituindo na equação da velocidade temos:
| vcirc = √G(m1+m2)/r |
Para uma órbita circular, a energia total é negativa, já que:
| E = -Gm1m2/2r < 0 |
Na órbita parabólica a = ∞, substituindo na equação da velocidade temos:
| vesc = √2G(m1+m2)/r |
Para uma órbita parabólica, a energia total é nula, pois:
| E = -Gm1m2/∞ = 0 |
Órbita de transferência de Hohmann
O método mais antigo usado para utilizar a gravidade como acelerador é a chamada transferência de Hohmann, proposta pelo engenheiro alemão Walter Hohmann (1880-1945): primeiro, impulsiona-se a nave com o foguete até uma órbita circular baixa em volta da Terra. Em seguida, aplica-se um impulso, com os motores da própria nave, que modifica a órbita: ela deixa de ser circular e se torna uma elipse alongada. Quando a nave se encontra no ponto mais alongado da elipse, aplica-se um novo impulso para colocá-la em uma nova órbita circular, só que bem mais alta que a primeira. É uma manobra cara porque os impulsos necessários são grandes e exigem grandes quantidades de combustível. A transferência de Hohmann serviu desde o início da era espacial para colocar satélites em orbita da Terra e até para enviar naves à Lua.
Os progressos da Astrodinâmica têm mostrado como se deve proceder para aproveitar ao máximo a energia gravitacional durante os vôos espaciais. Hoje se analisa a atração gravitacional de vários corpos para descobrir quais são as trajetórias naturais existentes entre eles - ou seja, as rotas criadas pela gravidade e que as naves podem utilizar com vantagem. Se uma nave for lançada em uma trajetória adequada, ela pode seguir uma trajetória natural na qual não será necessário gastar nenhuma energia. A Mecânica Celeste mostra que existem pontos especiais, chamados pontos de Lagrange, nos quais a soma de várias atrações gravitacionais cria inúmeras possibilidades interessantes. Aí se cruzam infinitas trajetórias, bem diferentes uma da outra. E quando se dirige uma sonda para uma dessas regiões, basta um pequeno gasto de energia para alterar o seu movimento. É como se, no espaço houvessem superhighways interplanetarias, conectando os diversos pontos de Lagrange dos planetas do Sistema Solar. O problema é que essas trajetórias naturais são cheias de curvas e atalhos, que tornam as viagens demoradas. Ou seja, o que se ganha em energia, paga-se com tempo.
