1.a Lei de Kepler na forma de Newton:

(Não vamos deduzir)
 

A lei das órbitas elípticas dos planetas é uma consequência do tipo de força (F ∝ 1/r²) que atua entre os planetas e o Sol.
 

Círculo Elipse Parábola Hipérbole

• Um círculo pode ser pensado como uma elipse com e = 0 e a = b
• Uma parábola pode ser pensada como uma elipse com e = 1 e a = ∞
• Uma hipérbole pode ser pensada como uma elipse com e > 1 e a < 0

O fator decisivo sobre o tipo de órbita é a energia do sistema.

• energia <0 → órbita elíptica ou circular
• energia = 0 → órbita parabólica
• energia >0 → órbita hiperbólica
  
  
   

  Figura tirada de Wikipedia
   
   

  Equação da elipse:
   

  
  
    Área da elipse:

  A = πab

  
   

  ---

  
  2.a lei de Kepler: :
   

  O momentum angular dos planetas em relação ao Sol é constante, portanto dA/dt = h/2 = constante

  onde

  • da/dt = velocidade "areal" do planeta = área varrida pelo raio vetor que une o planeta ao Sol por intervalo de tempo
  • h = momentum angular por unidade de massa
  
  

  Dedução:

  (1)Definição de momentum angular:
    L = r ×p = r ×mv
   

  onde o produto vetorial × é tal que o vetor resultante é perpendicular ao plano definido pelos dois vetores envolvidos na operação, e tem módulo igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo seno do angulo entre eles.

  ou seja, se o ângulo entre r e v é α,então:
    L = rmv senα

  Se v são paralelos, r × v = 0

  (2) Prova de que o momentum angular de um planeta em relação ao Sol é constante:

  dL/dt = d( r × p )/dt = (dr/dt × p + r ×(dp/dt) = dv ×p + r ×(dp/dt) = r ×F

  Se F tem a mesma direção de r, como é o caso da força gravitacional, então r ×F= 0  →  dL/dt = 0 e L = constante.
   

  (3) Prova de que o módulo do momentum angular do planeta é igual à área varrida pela linha reta que o liga ao Sol
   

  Considerando a figura abaixo:

  
  
    A área descrita pela linha reta (r) unindo o ponto P a F, quando ele se desloca até Q, é aproximadamente (para um intervalo de tempo pequeno) igual à área de um triângulo de base rΔθ e altura r.

  ΔA = 1/2 r rΔθ
  Em um tempo Δt:
  ΔA/Δt = 1/2 r²Δθ/Δt
  O momentum angular é definido como:
  L = r × mv  →  L = rmv_t

  Onde chamamos v_t à componente de v na direção perpendicular a r. para um intervalo de tempo Δt pequeno, v_t pode ser aproximado pelo pedaço da órbita percorrido durante esse tempo, que é igual ao arco subtendido pelo ângulo Δθ, ou seja:

  L = m r² Δθ/Δt

  Comparando a expressão de ΔA/Δt com a expressão de L, vemos que:

  ΔA/Δt = 1/2 L/m

  que é constante porque o momentum angular e a massa são constantes.

  
    Portanto:

  A lei das áreas de Kepler é uma consequência direta da lei de conservação do momentum angular.
   

  Considerando um intervalo de tempo infinitesimal, e adotando h = L/m, temos:

  dA/dt = h/2

  Integrando a equação acima em um período orbital completo temos:

  ∫dA = h/2∫dt

  ou

  A = h/2 P

  Como a área da elipse é

  A = πab (área da elipse)

  Logo o momentum angular por unidade de massa é:

  h= 2πab/P

  
  

  ---

  3.a lei de Kepler na forma de Newton:
  

  Dedução no parágrafo "Derivação da constante K", no capítulo Newton

  
   
  

  Para qualquer conjunto de sistemas interagindo gravitacionalmente, podemos escrever:

  M1K1=M2K2=.....=MnKn=4π2⁄G

  onde M = massa do sistema e K = P²⁄a³

  A 3.a lei de Kepler, nesta forma, permite determinar massas de corpos astronômicos.
  

  ---

  
  Velocidade orbital

  Do conceito de momentum angular:

  h= r2 d(θ)/dt = v r sen(θ)

  No periélio:

  h = v_p r_p =v_p a(1 - e) =

  Portanto

  v_p = h/[a(1-e)] = 2piab/P[a(1-e)]
  (Fazer o exercício 8 da 3.a lista para mostrar que
  v_p = 2πa/P√[(1+e)/(1-e)]
  
  
  

  ---

  
  Equação da velocidade

  d(θ)/dt = h/r² = 2piab/r2Pa[a(1-e)}

  Da definição de excentricidade, podemos escrever b= a(1-e²)^(1/2)

  Logo

  d(θ)/dt = h/r² = (2pi/P) (a/r)^2(1-e2)^(1/2)  
  

  Equação da energia
   
  

  Considerando um sistema de dois corpos interagindo gravitacionalmente, onde

  m₁ e m₂ são as massas dos corpos

  v₁ e v₂ são suas velocidades

  r é a distância entre ele

  Sabendo que a energia total se conserva nesse sistema,

  Energia total = 1⁄2(m1v12) + 1⁄2(m2v22) - Gm1m2 ⁄ r = constante

  Da conservação do momentum linear total:

  m1v1=m2v2 (onde assumimos momentum linear total = 0)

  Então:

  v₁=m₂v₂/m₁ e v₂=m₁v₁/m₂ (1)
  
  

  Definindo

  v= velocidade relativa=v1+v2
  
  

  Podemos escrever:

  v₁=v - v₂ e v₂=v - v₁ (2)
  
  

  Substituindo (2) em (1) podemos escrever:

  v1=[m2/(m1+m2)]v e v2=[m1/(m1+m2)]v
  
  

  Substituindo na equação da energia total:

  
  Energia total = m1m2/(m1+m2)[v²/2 - G(m1+m2)/r]
  
  

  Calculando o valor da energia total no periélio, onde

  r = a(1-e) e v² = 4π²a²/P²[(1+e)/(1-e)]
  e lembrando que P² = [4π²/G(m1+m2)]a³

  Encontramos que a energia total vale:

  E = -Gm1m2/2a

  E a equação da energia fica:

  v² = G (m1+m2)[2/r - 1/a]

  
   

  Casos especiais:
    

  1. Velocidade para órbita circular:
      

     Na órbita circular a = r, e substituindo na equação da velocidade temos:

     v²circ = G (m1+m2)[2/r - 1/r] = G (m1+m2)/r →

     vcirc = √G(m1+m2)/r

     Para uma órbita circular, a energia total é negativa, já que:

     E = -Gm1m2/2r < 0

     
      
  2. Velocidade para órbita parabólica:
      

     Na órbita parabólica a = ∞, substituindo na equação da velocidade temos:

     v²esc = G (m1+m2)[2/r - 1/∞] = 2G(m1+m2)/r →

     vesc = √2G(m1+m2)/r

     Para uma órbita parabólica, a energia total é nula, pois:

     E = -Gm1m2/∞ = 0

  
   

  Questões de revisão

  Exercícios sugeridos: 2, 6, 8 e 9 da3.a lista de exercícios

  Auto-teste

  Veja mais exercícios simples sobre gravitação em: http://www.fisicalegal.net/exercicios/gravitacao/gravitacao2.html

  Diário de classe	Página da disciplin a

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