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Dilatação: resultados diferentes dependendo do cálculo!

Uma dúvida: Uma barra metálica tem comprimento de 100 cm e ALFA igual a 0,005 K-1. Essa barra vai ser aquecida 60 K. Se eu pensar em um unico aquecimento de 60 K ela dilata 30 cm chegando a 130 cm. Se eu pensar em 3 aquecimentos seguidos de 20 K ela chega primeiro a 110 cm, depois a 121 cm e depous a 133,1 cm. Se aquecer 60 K é equivalente a aquecer 20 K 3 vezes consecutivas como justificar os 2 resultados diferentes? Qual dessas possibilidades matemáticas (“diltação simples” ou “dilatação composta”) coincide mais com a parte experimental? Muito obrigado!

Respondido por: Prof. Fernando Lang da Silveira - www.if.ufrgs.br/~lang/

A conhecida equação para a dilatação é uma aproximação linear.

Caso o coeficiente de dilatação seja constante  – conforme assumido na obtenção da conhecida equação (equação 2 a seguir) -, pode-se demonstrar que o comprimento da barra varia exponencialmente com a temperatura. A equação exata, não aproximada, é

ao invés da aproximação linear

O comprimento calculado pela  equação exata  (equação 1) resulta ser 134,986 cm. Se o processo de aquecimento é calculado em mais etapas (por exemplo, dez variações de 6 K), o resultado se aproximará mais do resultado exato fornecido pela exponencial. A exponencial  decorre de uma sucessão infinita de variações infinitesimais da temperatura.

O coeficiente de dilatação de 0,005 K-1 é muito grande comparado com coeficientes de dilatação para os metais. Um valor mais realista para tal coeficiente seria 0,000005 K-1  e então qualquer uma das formas de calcular leva a resultados muito semelhantes.

Vide também Dilatação linear e volumétrica de uma esfera: cálculos inconsistentes!

“Docendo discimus.” (Sêneca)


3 comentários em “Dilatação: resultados diferentes dependendo do cálculo!

  1. daniel leme disse:

    Excelente análise!
    Válido levar a discussão para a sala de aula!

  2. Fernando Elias de Azevedo Rezende disse:

    Primeiro muito obrigado por ter me respondido professor! E segundo: pq isso acontece? Esse crescimento exponencial? Faz sentido eu dizer que isso ocorre pq (diferente de um sistema massa mola) as interações são elétricas e caem com d ao quadrado? Dessa maneira quando a barra esquenta a transformação de energia cinética de cada partícula em potencial exige mais alongação X pra mesmo incremento de energia cinética? Estou falando de uma média pq qd elas se aproximam e se repelem a força é grande e elas se repelem rapidamente e quando elas estão afastadas e se atraem a força é menor e elas se atraem lentamente e ai na media passariam mais tempo longe do que perto. Posso falar isso pra explicar?

    E qual abordagem vc sugere pra sala de aula no ensino médio? Falar pros alunos que a equação linear é valida pra ALFA pequeno e pequenas variações de temperatura?

    • Fernando Lang disse:

      O crescimento exponencial é consequente do pressuposto de que uma variação no comprimento dependa do comprimento inicial e da variação da temperatura. Entretanto o comportamento real é mais complexo pois o coeficiente de dilatação também depende da temperatura e algumas ligas metálicas podem apresentar coeficientes negativos em algumas faixas de temperatura.

      Acho que explicações microscópicas em nível de ensino médio devem ser evitadas. O entendimento da descrição macroscópica já é um belo objetivo nesse nível.

      É sempre importante notar aos alunos que os modelos científicos são idealizações e simplificações do real e neste caso o cálculo das variações no comprimento é válido para pequenas variações de temperatura.

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