Observações Fundamentais para a Cosmologia
Profa. Thaisa Storchi Bergmann
Bibliografia de consulta: Capítulo 2 do livro de Barbara Ryden, Introduction to Cosmology, Wikipedia
O céu é escuro à noite
O fluxo de uma estrela de luminosidade L a uma distância r é dado por:
(1)
Seja uma camada esférica de estrelas, de raio r e espessura dr, centrada na Terra (Fig. 2.1), do livro de Barbara Ryden. A intensidade da radiação desta camada de estrelas é:
(2)
Sendo n a densidade de estrelas em cada ângulo sólido:
(3)
onde dA é o produto entre r2 e o elemento de ângulo sólido dω. Assim:
(4)
Então a intensidade da radiação fica:
(5)
Fazendo r ir ao infinito, a intensidade total da luz tem o seguinte comportamento:
(6)
Este resultado é conhecido como o Paradoxo de Olbers: a intensidade total da luz tende ao infinito, ou seja, o céu deveria ser totalmente brilhante à noite, pois estaria coberto de estrelas. Toda as linhas de visada deveriam chegar até a superfície de uma estrela.
Solução do Paradoxo
Hipóteses erradas
- Temos as linhas de visada desobstruídas a todas as estrelas no Universo; isto não é verdade, algumas estrelas vão ficar atrás de outras mas se a distribuição de estrelas é infinita, isto não resolveria o paradoxo.
- A matéria interestelar esconderia cada vez mais as estrelas que estivessem mais distantes. Isso também não resolve, pois se as estrelas e a poeira estivessem distribuídas uniformemente, a poeira entraria em equilíbrio com as estrelas e brilharia também.
- Considera-se a densidade de estrelas n e sua luminosidade L como constantes em todo o Universo. Isto não é verdade. Se nL fosse proporcional r-2, por exemplo, não teríamos infinito para a intensidade total da luz, como vimos acima.
- O Universo é infinito. Se não for:
(7)
- O Universo tem idade infinita. Se não tiver:
(8)
onde t0 = idade do Universo.
- Fluxo de uma estrela distante é dado pela equação 1, como sabemos. Isto vale para a geometria Euclidiana. Mas para um espaço que se curva e se expande isto não vale mais.
Fator principal para solução do Paradoxo
O Universo tem idade finita e existe uma distância limite, que é a “distância do horizonte”, a partir da qual a luz não teve tempo de chegar até nós. Uma maneira simples de quantificar isto é considerar um círculo com raio r = 1 parsec, que pode ser considerada como uma distância média entre as estrelas. Se a seção reta de uma estrela é πR2, onde R é o raio da estrela, o no. mínimo de estrelas necessário para preencher toda a área πr2, na hipótese de que nenhuma estrela fique atrás da outra, é:
(9)
onde consideramos como raio típico de uma estrela o raio do Sol. A distância mínima r que devemos atingir no Universo para acumular este no. de estrelas, na hipótese de que nenhuma estrela fique atrás de outra é:
(10)
onde A é a área do círculo de 1 pc de raio e a densidade de estrelas n pode ser estimada como n = 1/pc3. Resulta então:
(11)
onde t0 = 13,7×109 anos é a idade do Universo. Ou seja, para acumular 2×1015 estrelas, dentro de um círculo de 1 pc de raio, precisaríamos poder observar muito além do horizonte, que é a distância máxima que podemos observar no Universo, correspondente a distância percorrida pela luz desde o Big Bang.
Obs.: A distância do horizonte corresponde ao raio do Universo observável. Acredita-se que o Universo seja bem maior. Por exemplo, num modelo de Universo com inflação, no instante ti = 10-36s, a distância do horizonte era dhor(ti) = cti = 6×10-28m, mas logo após a inflação, 10-34s depois, a distância do horizonte ficou dhor(ti) = cti = 6×1016m = 0.8pc. Se calcularmos a velocidade do horizonte, obtemos uma velocidade muitas ordens de grandeza maior do que a velocidade da luz! Assim, a luz não teve tempo de percorrer ainda todo o Universo, e vemos somente uma parte dele.
Em grandes escalas o Universo é isotrópico e homogêneo
- Isotrópico => não há direção preferencial, todas são equivalentes.
- Homogêneo => não há lugar preferencial, todos são equivalentes.
A diferença entre isotropia e homogeneidade é mostrada na Fig. 2.3, do Livro de Bárbara Ryden.
Isso vale para distâncias a partir de 100Mpc (ordem dos diâmetros de superaglomerados de galáxias e dos vazios observados entre os aglomerados). Daí vem o Princípio Cosmológico: “Não há nada de especial sobre a nossa localização no Universo. Ela é equivalente a qualquer outra.”
As galáxias têm redshift proporcional à sua distância.
(12)
Obs.: Algumas poucas galáxias têm z < 0 (Grupo Local) mas todas as demais têm z > 0. Descoberta: Vesto Slipher em 1912.
Lei de Hubble (1929)
Edwin Hubble, medindo a velocidade das galáxias através do efeito Doppler da luz, descobriu que a velocidade das galáxias v = cz (para v << c) era proporcional à sua distância r:
(13)
para z < 0.01, cz = v = H0r (Fig.2.4), do livro de Bárbara Ryden, onde H0 é a constante de Hubble e vale atualmente 72 ± 3 km s-1 Mpc-1.
A Lei de Hubble, à primeira vista, sugere que estamos num lugar privilegiado no Universo: todas as galáxias se afastam da nossa! Um pouco mais de reflexão mostra que uma expansão isotrópica e homogênea produz a mesma observação.
Matematicamente: sejam 3 galáxias 1, 2 e 3 separadas por:
(14)
formando um triângulo. Uma expansão homogênea e uniforme significa que a forma do triângulo é preservada na expansão. Para mostrar a relação entre as distâncias num tempo t0 em relação às distâncias num tempo t num Universo em expansão fazemos:
(15)
Sendo a(t) o fator de escala, que cresce com o tempo e t é o tempo presente. Convencionou-se adotar para o tempo presente a(t) = 1, ou seja, expressamos o fator de escala de qualquer época em unidades do fator de escala do tempo presente. Como o fator de escala cresce com o tempo, e, quando olharmos para uma galáxia distante (na verdade, para qualquer galáxia!), estamos olhando para o passado, quando o Universo era menor, quando t <t, a(t) < a(t) e portanto a(t) < 1.
O fator de escala a(t) caracteriza a expansão homogênea e isotrópica do Universo. Em qualquer tempo t, um observador na galáxia 1 vai ver as outras galáxias se afastando com uma velocidade:
(16)
onde:
(17)
Lei de Hubble
(18)
Se as galáxias estão se afastando no presente, elas deviam estar mais próximas no passado. Na ausência de aceleração, podemos obter o tempo em que elas estavam todas juntas, que é o tempo de Hubble :
(19)
O valor de t é 13,7 ± 1.4 Ganos (Giga-anos ou 109 anos) que é o tempo em que as galáxias deveriam estar todas juntas. Esta observação leva, naturalmente, a um modelo de um estado compacto inicial conhecido como Big Bang.
Observamos que, consistentemente, 13,7 Gyr é aproximadamente a idade dos objetos mais velhos do Universo. Entretanto, a idade do Universo não é necessariamente igual ao tempo de Hubble. A atração da gravidade produzida pela matéria deveria ter retardadado a expansão e o Universo deveria ter se expandido mais rapidamente no passado e seria mais jovem que H0-1. Por outro lado, hoje os astrônomos estão concluindo que a densidade de energia no Universo é dominada pela constante cosmológica que corresponde a uma força repulsiva, contrária à atração gravitacional, e isto pode levar a uma idade do Universo maior do que H0-1. O Modelo padrão, baseado em observações atuais do Universo, sugere que a idade do Universo é muito próxima a H0-1.
Distância de Hubble
A distância de Hubble, dH é obtida fazendo, na lei de Hubble, a velocidade ser igual à maior velocidade observável, que é a velocidade da luz c:
(20)
Exercício: Calcular o tempo e a distância de Hubble para H0 = 72 ± 3 km s-1 Mpc-1.
O tempo e a distância de Hubble são valores de referência, que dão a idade e tamanho aproximado do horizonte do Universo. Valores mais precisos dependem da história da expansão do Universo. Se a idade do Universo é t, a luz de galáxias mais distantes do que a distância de Hubble não teve tempo de chegar até nós. Observações mostram que a densidade de luminosidade do Universo é muito pequena: nL ~ 2×108 Lsol Mpc-3 e equivale a uma lâmpada de 40 Watts para iluminar uma esfera de 1 UA de raio!
Exercício: Calcular o fluxo total recebido de todas as das galáxias do Universo.
Solução:
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Comparando com o fluxo que recebemos do Sol:
(22)
ou seja, 10 ordens de grandeza menor que o fluxo de radiação que recebemos do Sol.
Exercício: Quanto maior/quanto mais velho teria que ser o Universo para que todos os lugares recebessem a mesma iluminação que a Terra?
Resposta: Como fluxo resulta proporcional a dH, esta teria que ser 1/(3×10-10) = 3,3×109 maior, ou seja, 3 bilhões de vezes maior e 3 bilhões de vezes mais velho (se as estrelas ficassem brilhando todo o tempo).
Dentro do modelo do Big Bang, as propriedades do Universo variam com o tempo (a densidade de matéria, por exemplo, que diminui com o tempo).
Porém, nos anos 1950 – 1960, havia muitos defensores do chamado Modelo do Estado Estacionário, que defendia o “Princípio Cosmológico Perfeito” onde a densidade de matéria deveria permanecer constante. Mas para isso seria necessário haver a criação de um átomo de hidrogênio por km3 por ano.
Exercício: Se o Universo está se expandindo, isto significa que os átomos, a Terra, o Sistema Solar e a Via Láctea estão ficando maiores?
Resposta (ver Raine & Tomas, an Introduction to Cosmology): Não! Estes objetos não se expandem porque são sistemas ligados por forças internas elétricas ou gravitacionais. Por exemplo: seja o potencial gravitacional da Via Láctea aproximado por:
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onde MG é a massa da galáxia e rG seu raio. A velocidade de escape vesc de uma massa de prova m fica:
(24)
Mostre que, adotando MG = 1011MSol e rG = 50000 a.l., vesc = 4×10-3c. Podemos agora comparar esta velocidade com a velocidade de recessão da borda da galáxia em relação ao seu centro devida à expansão do Universo:
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Mostre que este valor resulta v = 3,7×10-6c, portanto 3 ordens de grandeza menor do que a velocidade de escape. Isto significa que a força gravitacional da galáxia domina sobre a expansão do Universo.
Exercício: Repita este cálculo para as galáxias dentro de um aglomerado de galáxias (M ~ 103MG e r ~ 200rG) e para os aglomerados de galáxias entre si (r ~ 3×200rG), e descubra qual é a escala de distância mínima em que podemos afirmar que a expansão do Universo domina sobre a força de atração gravitacional.