FIS02012 - Cosmologia e Relatividade

Profa. Thaisa Storchi Bergmann

 

Bibliografia de consulta: Capítulo 3  do livro de Barbara Ryden, Introduction to Cosmology, e Cap. 3 do livro de Ronaldo de Souza, Introdução à Cosmologia

 

2)  Curvatura e métrica (segundo Barbara Ryden)

 

Comecemos com a descrição da curvatura em espaços bidimensionais:

 

1)      Plano: a geodésica é uma linha reta. Um triângulo construído unindo três pontos com geodésicas, tem a soma dos ângulos internos iguais a .

 

     (Fig. 3.3, Barbara Ryden)

 

 

Distância entre dois pontos (x, y) e (x + dx, y + dy):

 

 

 

Em coordenadas polares:   e

                                                                         

 

 

2)      Superfície de uma esfera: a geodésica é um grande círculo (cujo centro coincide com o da esfera). Triângulo desenhado na superfície

 

 

onde A: área do triângulo e R: raio da esfera.

 

Diz-se que este espaço tem “curvatura positiva” porque . Na superfície da esfera também ocorre que a curvatura é homogênea e isotrópica.

 

Distância entre dois pontos  e  sendo r a distância ao pólo norte e  o ângulo em relação a um meridiano escolhido, que chamamos de meridiano principal:

 

 

 

Obs.: a superfície de uma esfera tem uma área finita igual a e uma distância máxima entre dois pontos que é . Em contrapartida, um plano tem área infinita e não tem distância limite entre pontos.

 

 3)      Sela: espaço de curvatura negativa, que contém um hiperbolóide. David Hilbert, matemático, provou que uma superfície de curvatura negativa constante não pode ser desenhada num espaço tridimensional. A sela contém curvatura constante somente na região central, que corresponde ao “assento”.

 

Propriedades:

 

 

 

 

Uma superfície de curvatura negativa constante tem área infinita, sem distância limite entre pontos.

 

 

Métrica:  

 

Relações que dão a distância entre dois pontos no espaço, como as expressões para “ds” que obtivemos acima são chamadas de “métricas”. No caso mais geral, a curvatura é uma propriedade local. Analogia: uma toalha de mesa pode estar amassada num canto e esticada noutro; um pneu tem curvatura negativa na parte interna e positiva na parte externa.

Para que um espaço bidimensional seja isotrópico e homogêneo, só há três possibilidades: 1) é uniformemente plano ou “chato”; 2) tem curvatura uniforme positiva; 3) ou tem curvatura uniforme negativa. Sua geometria fica especificada com somente duas quantidades: : constante de curvatura e R: raio de curvatura.  A constante de curvatura pode assumir os valores:

             

 

 

Passando para um espaço tridimensional,  com , a métrica fica:

 

    (coordenadas cartesianas)

 

    (coordenadas esféricas)

                                                                       

 

Para

 

                                                                         

 

 

Um espaço tridimensional com curvatura positiva tem um volume finito. O ponto com é o “antípoda” à origem (como no caso da superfície esférica). Viajando uma distância é possível voltar ao ponto de origem neste espaço.

 

 

Para :

 

 

 

Este espaço tem volume infinito.

 

Podemos reunir as três métricas possíveis em:

 

      

 

 

 

 

 

 

                                                                                                 

                                                                       

                                                                       

No limite  ,  (espaço é plano para regiões pequenas).

 

·                     Se  k = 0 ou  κ = -1,  Sk cresce com r e vai a infinito quando r vai a infinito.

·                     Se k = +1, Sk máximo = R quando  e daí decresce de novo a 0 quando , o ponto oposto à origem.

 

Usamos o sistema de coordenadas . Se usarmos ao invés de r,  ,  a métrica para um Universo homogêneo e isotrópico fica:

 

Para κ = +1:

 

 

 

                                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                       

 

 

     

No caso genérico (para κ= +1, 0 ou -1):

 

 

 

 

Incluindo o tempo, e a expansão do Universo através do fator de escala a(t), temos a métrica de Robertson-Walker:

 

 

 

Usando a métrica de Robertson-Walker para um tempo fixo t:

 

 

 

Para medir a distância a uma galáxia, com  e  constantes,  .

 

 

 

A distância própria é obtida integrando ao longo da coordenada radial comóvel r:

 

 

 

Taxa de variação da distância própria:

 

 

 

No tempo atual:

 

 

 

 

 

Expansão do Universo: taxa de aumento da distância entre galáxias é a mesma do crescimento do raio de curvatura  do Universo.

 

Distância própria de Hubble

 

 

:

 

Para distâncias maiores, vP > c.

 

Exercício: Calcular a distância de Hubble.

Solução:

 

 

 

 

Galáxias mais distantes do que dH estão se afastando com velocidades maiores que c. Poder-se-ia pensar que isto viola a lei de que objetos massivos não podem viajar a velocidades maiores que a da luz. Mas isto não é verdade. O limite de velocidade = c é resultado da relatividade especial e se refere a movimentos relativos de objetos num espaço estático. No contexto da relatividade geral, pode-se ter objetos se afastando uns dos outros com velocidade superluminal devido à expansão do espaço.

 

 \

Relação entre a(t) e z:

Consideremos a luz emitida por uma galáxia num tempo , observada por nós em . A luz viaja ao longo de uma geodésica nula, com . Considerando propagação somente na direção radial:

 

 

 

Seja uma frente de onda emitida em e observada em :

 

 

 

 

 

Seja a “onda seguinte” emitida em , que vai ser observada em::

 

 

 

Conclui-se que:

 

 

 

Subtraindo dos dois lados:                                                              

 

Resulta:

 

 

 

 

No intervalo de tempo correspondente a e  podemos assumir  constante e assim:

 

                                                                       

 

Então, devido à expansão do Universo, expande também.

 

 

 

 Então, ao observar uma galáxia a um redshift  z = 2, por exemplo,

 

 

 

Ou seja, o Universo tinha 1/3 do seu tamanho total.

 

 

Curvatura e métrica (segundo Ronaldo de Souza)

 

1) Universo unidimensional curvo:

 

No caso de um Universo cujo espaço é unidimensional, descrito por um círculo imerso em um plano, o raio de curvatura seria:

 

 

 

Onde:

 

 

                                                                       

 

R seria o raio do círculo, e , as projeções de R nos dois eixos de coordenadas, e  a posição angular. Um habitante deste hipotético Universo perceberia a existência de apenas uma dimensão para descrever o seu espaço físico, apesar de que ele se encontra, de fato, imerso em um espaço de duas dimensões, um plano. Portanto, o seu elemento de linha, ou seja, o elemento de deslocamento espacial no seu Universo restrito, pode ser descrito por:

 

 

 

Que  é a métrica neste espaço.

 

 

2) Universo bi-dimensional curvo sobre a superfície de uma esfera:

 

 

 

 

Este mesmo exercício pode ser repetido para o caso um pouco mais complexo, mas que ainda podemos visualizar na figura acima, de um Universo em que os habitantes estão restritos a se movimentar sobre a superfície de uma esfera, a qual se encontra imersa em  um espaço em três dimensões. Nessa situação, o sistema de coordenadas mais adequado seria:

 

 

 

Sendo,

 

 

 

 

 

Estas relações nos permitem escrever o elemento de deslocamento sobre a superfície da esfera:

 

 

Exercício: Obter a expressão acima.

 

Observe que, tal qual ocorria no exemplo anterior, um observador preso à superfície desta esfera não teria acesso às três coordenadas que definem seu espaço. Na percepção dele, seu espaço físico é constituído por apenas duas dimensões, a superfície da esfera que define o seu Universo. Se orientarmos o pólo do nosso sistema de coordenadas tridimensional de tal maneira que o eixo  passe através da posição do observador, podemos ver que as coordenadas ,  e  podem ser medidas, pois estão contidas no plano tangente, mas não ou . A única forma de ele perceber a presença desta coordenada oculta é através da sua projeção  sobre o seu espaço bidimensional.

 

Podemos verificar que, se esse observador se afastar ligeiramente do pólo, ele deverá perceber que seu deslocamento espacial é dado por, dl2 » (dx1)2 + (dx2)2   ou seja, em pequenas escalas o seu Universo é euclidiano. Nessas escalas, o nosso observador não precisa considerar o efeito do raio de curvatura da esfera. Isto se deve a que um pequeno afastamento pode ser descrito por um deslocamento sobre o plano tangente que passa pela posição polar. No entanto, se ele se movimentar o suficiente perceberá que seu Universo é um pouco mais complicado do que imaginava. Nesse caso, o plano tangente se afasta apreciavelmente da superfície da esfera, e o observador simplesmente não conseguirá descrever o deslocamento através da aproximação euclidiana. Para entender corretamente o processo ele precisa utilizar a relação mais geral, na qual está embutido o raio de curvatura R de seu Universo. De início ele pode se sentir um pouco perplexo por fazer uso de uma coordenada adicional, a qual simplesmente não consegue enxergar. Entretanto, essa é a solução matematicamente correta para descrever completamente o seu Universo.

 

 

3) Espaço tridimensional, como o nosso, imerso em um Universo de quatro dimensões:

 

 

 

Com,

 

 

 

 

 

 

 Correspondendo a um elemento de deslocamento espacial,

 

 

 

Exercício: Obter a expressão acima.

 

Neste caso, devemos lembrar que devido às nossas limitações, o raio tridimensional,   r2 =  (x1)2 + (x2)2 + (x3)2,  é o único ao qual temos acesso visual. E este, por sua vez, é a projeção do “raio” quadridimensional R sobre o nosso espaço tridimensional, através do ângulo ψ:.

 

 

                                                                       

 

 

Substituindo a expressão acima para  na expressão para o deslocamento no nosso espaço tridimensional obtemos:

                                                                         

 

 

que é a expressão final adequada para descrever os deslocamentos espaciais num Universo tridimensional com curvatura positiva. Nessa expressão, R é o raio de curvatura que precisamos avaliar, mesmo sabendo que jamais poderemos visualizá-lo. Note que quando realizamos observações locais, o termo de curvatura é desprezível, e recuperamos a expressão para o deslocamento na geometria euclidiana. Quando a dimensão amostrada é comparável ao raio de curvatura, detectamos uma diferença apreciável em relação à métrica euclidiana. Suponha, para simplificar a discussão, que dθ = dφ = 0 correspondendo a observações ao longo da direção radial. Nesse caso, ao realizar observações locais, obtemos que dl » dr = [ (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 ]1/2, ou seja, a distância percorrida é exatamente igual à variação da sua coordenada radial, resultado bastante intuitivo na geometria euclidiana. Quando a distância é grande, precisamos utilizar a relação correta:

 

 

 

 

 .

 

Percebemos, portanto, que a distância percorrida é diferente da variação na coordenada radial. Para se entender o que está ocorrendo precisamos retornar à figura da esfera, que ilustra o mesmo efeito para um observador condenado a viver em um espaço bidimensional imerso em um Universo tridimensional. Também ele sentirá o mesmo efeito, quando observa objetos mais distantes, e este resultado é motivado pela necessidade da sua coordenada l acompanhar a superfície da esfera, afastando-se, portanto, da solução euclidiana local, representada ali pela coordenada r contida no plano tangente.

 

 

3)  A métrica de Robertson-Walker

 

Incluindo o tempo, podemos calcular a distância entre dois eventos no espaço-tempo: entre  e . Na relatividade especial, onde não há curvatura (o espaço é plano), e a separação entre dois eventos no espaço-tempo é:

 

 

 

sendo,

 

                                                                       

 

Esta é a Métrica de Minkowski, que se aplica no caso do espaço plano (não há gravidade) e estático (não há expansão do espaço) da relatividade especial.

 

O caminho de um fóton no espaço-tempo é uma geodésica quadridimensional, mas um tipo especial de geodésica – a geodésica nula:

 

 

 

Se a trajetória é radial, dΩ = 0, então:

 

 

 

Na presença de gravidade, assumindo um Universo homogêneo e isotrópico em expansão com três dimensões espaciais e uma temporal, a métrica fica:

 

 

 

 

para um espaço com raio de curvatura  (curvatura nula, positiva ou negativa). Esta é a métrica de Robertson-Walker, derivada por estes dois físicos por volta de 1939 para um Universo homogêneo e isotrópico em expansão, com fator de escala a(t), onde a variável ‘t’ é o tempo cósmico ou tempo próprio e as variáveis (r, θ, Φ) são coordenadas comóveis (ver Fig. 3.13 do livro do Ronaldo) ;

 

Num Universo homogêneo e isotrópico toda a informação sobre sua geometria está contida em , e . O objetivo da Cosmologia moderna é estudar estes valores.

 

Observação: note que a expressão final para a métrica é a mesma obtida por Barbara Ryden, usando um método um pouco diferente.

 

4)  Distância própria dP(t):

 

A distância própria entre dois pontos num tempo ‘t’ é o comprimento da geodésica entre estes pontos para um valor do fator de escala igual a a(t).

 

Movimento dos fótons: para os fótons, o deslocamento no espaço-tempo é nulo:

 

 

 

 

Na métrica de Robertson-Walker, a distância própria dP é obtida de:

 

 

 

 

 

 

onde assumimos dθ e dΦ nulos (para fóton se movendo somente na direção radial) e te é o tempo da emissão do fóton. A distância comóvel r* é igual à distância própria no tempo atual t0. Para um Universo plano :

 

 

 

 

Precisamos, então, conhecer a dependência de a(t) com o tempo para podermos obter a expressão para as distâncias própria e comóvel.

 

O significado da distância comóvel pode ser compreendido através da figura 3.13 do livro do Ronaldo: à medida que o Universo se expande, as distâncias se expandem com ele. A distância comóvel é maior do que a distância percorrida pelo fóton:

 

 

 

Porque, à medida que o fóton viaja pelo Universo, o Universo se expande fazendo com que a distância da galáxia que emitiu o fóton seja maior do que o caminho percorrido pelo fóton no intervalo de tempo .

 

 

Questão (Diefferson):  As distâncias mencionadas em notícias astronômicas são as distâncias próprias?

 

Resposta: Quando observamos a luz de uma galáxia, a única coisa que conseguimos medir é o redshift. Já sabemos que o redshift z se relaciona com o fator de escala do Universo:. Assim, podemos calcular qual é o fator de escala do Universo na época que a luz foi emitida . O que se faz, em geral, é usar um modelo cosmológico para calcular a idade do Universo  no tempo em que o fóton foi emitido , ou o lookback time: . Poder-se ia dar já o valor da distância própria ou comóvel, mas em geral o que se dá é a distância percorrida pelo fóton . Para distâncias pequenas (até centenas de parsecs), a distância comóvel é quase igual à percorrida pelo fóton. Para distâncias progressivamente maiores, a distância comóvel vai se tornando progressivamente maior do que a percorrida pelo fóton. Uma ilustração disto pode ser obtida através de programas elaborados para o cálculo de parâmetros cosmológicos como o Ned Wright’s Cosmology Calculator, que pode ser acessado através do endereço eletrônico: http://www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html.