FIS02012 - Cosmologia e Relatividade

Thaisa Storchi Bergmann

Relatividade Restrita:

Postulados:

1) Princípio da relatividade: As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Nenhum experimento pode medir a velocidade absoluta de nenhum referencial inercial (o éter não existe!). Referencial inercial significa não acelerado.

2) Lei da propagação da luz: a luz se propaga no vácuo com velocidade c em todos os referenciais inerciais. Dois observadores em movimento relativo medirão a mesma velocidade para luz = c.

Estes dois postulados têm consequências como a contração do comprimento observado de  um objeto em movimento e a dilatação do tempo (paradoxo dos gêmeos: tempo passa lento para observador do que para objeto em movimento). Ou seja, não existe espaço nem tempo absoluto.

Coordenadas:  t, x, y, z;  o tempo é colocado em pé de igualdade com as outras coordenadas→espaço-tempo.

Define-se: evento como sendo qualquer acontecimento cujas coordenadas são medidas (t, x, y, z).

Transformação de coordenadas:

Sejam dois referenciais inerciais:  S (t,x,y,z) e S’(t’,x’,y’,z’), S’ se movendo com velocidade v em relação a S:

Transformações de Galileu:

Simultaneidade Newtoniana: se dois eventos são simultâneos num certo referencial inercial (RI), eles são simultâneos em todos os RIs.

Por volta de 1860, Maxwell formula sua teoria sobre a luz, contendo uma hipótese implícita: a luz, como todas as ondas mecânicas, necessita de um meio material para se propagar – o “éter”. A velocidade da luz medida como sendo c é em relação ao éter. O referencial do éter seria um referencial “absoluto”.

Grande desafio do fim do século XIX e início do século XX: detectar o éter e medir suas propriedades. Em 1887 foi realizado o principal experimento, por Michelson e Morley, que não conseguiu detectar a presença do éter.  O físico alemão Hendrick Lorentz, acreditando no éter, elaborou uma teoria em que efeitos de contração dos comprimentos e de dilatação do tempo conspiravam para que não consigamos detectar o éter, as famosas “trasnformações de Lorentz”. Einstein, em 1905, concluiu que o éter não existia e que as transformações de coordenadas entre dois referenciais inerciais são dadaas pelas transformações de Lorentz.

Transformações de Lorentz:

onde γ é o “fator de Lorentz”.

As transformações de Lorentz são necessárias para manter a forma da equação da onda de Maxwell.

Exercício: Mostre que a equação da onda abaixo não mantém a sua forma no referencial S’ com uma transformação de Galileu (t’=t e x’=x-vt), mas mantém a sua forma com uma transformação de Lorentz.

Foi justamente o problema de manter as equações de Maxwell invariantes que levou Lorentz a propor as suas transformações.

Propriedades das transformações de Lorentz

1) Relatividade da simultaneidade: 2 eventos que acontecem num mesmo instante num dado referencial, não correspondem necessariamente a eventos simultâneos em outro referencial.

2) Limite Newtoniano: fazendo c→∞, as transformações concordam com as de Galileu.

3) Transformações das diferenças: como as transformações de Lorentz são lineares e homogêneas, tem-se que:

            Ou

4) Invariância do intervalo: pode-se demonstrar que:

            Definido:

como a distância entre dois eventos no espaço-tempo, verifica-se que as transformações de Lorentz deixam esta distância Δs² invariante.

Consequências da Relatividade Restrita: cinemática relativística:

1) Contração dos comprimentos: seja um bastão de comprimento L₀ no referencial S’:

Queremos medir seu comprimento no referencial S, então, as suas extremidades devem ser observadas simultaneamente em S. Para dois eventos simultâneos em S devemos ter:

Ou seja, como γ>1, o comprimento medido L é menor do que o “comprimento próprio” L₀. Comprimento próprio é aquele medido no referencial em que o objeto está em repouso.

2) Dilatação do tempo:

Na mesma situação acima de um referencial S’ se movendo com velocidade v em relação a um referencial S, um intervalo de tempo Δt’=T₀ (tempo próprio: tempo no referencial em que o relógio está em repouso) em S’, é medido em S de acordo com as transformações inversas de Lorentz:

Ou seja, o intervalo de tempo medido em S é maior do que o medido em S’: o tempo se dilatou: um relógio em movimento em relação a um referencial S parece se atrasar em relação aos relógios fixos.

Espaço-tempo (ET) de Minkowski

O matemático Herman Minkowski desenvolveu o arcabouço matemático mais utilizado na teoria da Relatividade Especial (RE) de Einstein, por volta de 1908.

O ET de Minkowski é plano (como requer a RE) e o tempo é tratado como uma coordenada adicional. As coordenadas então são:

Grandezas vetoriais no ET de Minkowski são os “tetravetores”ou 4-vetores, descritos por 4 componentes num certo RI.  Os 4-vetores são representados por letras maiúsculas: . Ex:

nos referenciais S e S', respectivamente.

No ET de Minkowski, o elemento de linha ou  é dado por:

Na notação de Einstein:

, onde é o tensor da métrica:

O produto escalar neste ET é definido como:

As grandezas escalares possuem o mesmo valor em qualquer RI. Diz-se também que os produtos escalares são invariantes.