FIS02012 - Cosmologia e Relatividade
Profa. Thaisa Storchi
Bergmann
Bibliografia:
baseado no capítulo 10 do livro de Barbara Ryden
A Nucleossíntese
Como era o
Universo antes de serem emitidos os fótons na superfície de último espalhamento?
A superfície de último espalhamento, que corresponde a uma idade de 350 mil
anos é o limite que podemos observar o Universo através dos fótons que chegam
até nós.
Antes disso, em
particular, quando a radiação dominava sobre a matéria (a<< arm=
2.8 x 10-4 e t << trm ≈ 47 mil anos), o fator
de escala era proporcional a t1/2.
Para um Universo plano dominado pela radiação:
Deve-se observar
que esta expressão vale para t << 47000 anos e não no limite em que
εr ≈ εm.
Então, na época
dominada pela radiação, como a(t) a t1/2.
e como T a a-1, 
. Usando a expressão acima para a(t), chega-se a (fazer como
exercício):
e,
Vimos nos primeiros
capítulos que a energia média do fóton emitido por um corpo negro de
temperatura T é dada por:
Ou seja, quando a
idade do Universo era da ordem de 1 segundo, a energia média do fóton era ≈
3 MeV.
Podemos comparar esta
energia com as energias de repouso do elétron (mec2 =
0,511 MeV) e do próton (mpc2
=938,3 MeV) para concluir que a
era hadrônica (da formação de hádrons, como os prótons) já tinha passado quando
a idade era 1 segundo, mas a energia ainda era suficiente para formar léptons
(partículas leves, como os elétrons).
Para exemplificar
podemos considerar que para formar um par de próton/anti-próton precisamos de
uma energia E(t) = 2 x 938,3 MeV ≈ 1876 MeV, o que corresponde a uma
idade de:
Para formar um par
elétron-pósitron precisamos menos energia E(t) = 2 x 0,511 MeV ≈ 1,022
MeV, o que corresponde a uma idade de:
Física Nuclear e Cosmologia
Consideremos as
definições da energia e tempo de Planck:
Se
Então:
Podemos considerar
que, no início do Universo (tempo de Planck), a energia média dos fótons era igual
à Energia de Planck e que o Universo se expandiu e esfriou resultando numa
energia média por fóton na época atual de Emed = 2,7k x 2,725 K = 6
x 10-4 eV. São 31 ordens de
magnitude em energia, e durante a expansão, algumas fases foram especialmente cruciais
para a evolução do Universo.
Por exemplo, já
falamos da era hadrônica e era leptônica. A próxima era importante é a era da
nucleossíntese, quando ocorreram as reações nucleares. A ocorrência destas
reações depende da energia de ligação dos núcleos. Por exemplo, quando um
nêutron e um próton se fundem para formar um núcleo de Deutério, liberam uma
energia de ligação de 2,22 MeV:
Agora, se temos
2,22 MeV de energia disponível, poderemos destruir o Deutério (reação inversa
da acima). Há liberação de energia na síntese de núcleos cada vez mais pesados
até chegar ao 56Fe e 62Ni, a partir dos quais a energia é
liberada em processos de fissão nuclear e não mais de fusão. Então, à medida
que a temperatura do Universo diminuiu, a energia média por fóton se tornou
menor do que 2,22 MeV. Os núcleos de
deutério formados não eram mais destruídos, iniciando-se a era da
nucleossíntese primordial:
Como a energia de
ligação de D é 2,22 MeV e a energia de ionização do H é 13,6 eV, a razão entre
as duas energias dá a razão entre as temperaturas correspondentes à
nucleossíntese e à recombinação:
Consideremos agora
o Universo com uma idade de 0,1s:
A energia era
muito maior do que a energia de repouso dos elétrons e pósitrons, que eram
então criados aos pares:
Já existiam prótons
e assim, os prótons se combinavam com os elétrons formando nêutrons, que se
transformavam de novo em prótons através das reações:
Onde ne é o neutrino do elétron e o (anti) ne é o seu
anti-neutrino.
Enquanto prótons e
nêutrons se mantêm em equilíbrio através das reações acima, suas densidades
podem ser descritas por distribuições de Maxwell-Boltzmann:
Onde os pesos
estatísticos são 
. Fazendo a razão:
Chamando 
de 
e sendo:
Pode-se escrever:
Para:
o número de
nêutrons igualava ao de prótons, mas depois disto, o número de nêutrons cai
exponencialmente em relação ao de prótons.
Entretanto, a relação
acima só vale para o equilíbrio, e este durou pouco porque a interação de
transformação 
envolve neutrinos,
cuja taxa de interação cai rapidamente com o tempo. Quando a taxa de interação
Γ fica igual a H, os neutrinos se “desacoplam” dos nêutrons e prótons e a
razão nn / np “congela” numa energia kTf = 0,8
MeV, com Tf = 9 x 109
K:
Os nêutrons decaem
rapidamente, com meia vida de 617 s, e teriam logo desaparecido no Universo se
não tivessem rapidamente se combinado com os prótons para formar deutério D:
O deutério depois
vai acabar formando 4He. A partir da razão n/p=0,2, já podemos fazer
uma estimativa da fração primordial de 4He no Universo Yp:
:
Supomos para isto que
cada 2 nêutrons criados após o congelamento vai acabar sendo incorporado num
núcleo de 4He. Como nn / np = 1/5, para cada 2
nêutrons, há 10 prótons. Como eu preciso de 2n + 2p para formar um 4He,
a fração máxima será:
Para mp=mn,
o que é uma boa aproximação.Para obter uma expressão genérica em termos de 
, fazemos:
O valor observado
para a abundância primordial de 4He é
, menor que o valor máximo e isto pode ser entendido pelo
fato de que parte dos nêutrons decaem antes de se combinar.
A Síntese do Deutério
Vimos acima que para t ≈ 2 s; nn / np = 0,2, mas ao mesmo tempo:
A energia liberada
vem de:
.
O número relativo de
prótons, nêutrons e deutérios no processo depende da temperatura T e é dado por
uma equação análoga à equação de Saha:
Onde: 
Substituindo,
resulta
A temperatura Tnuc
da nucleossíntese do Deutério é definida como aquela em que nD = nn,
ou seja, quando metade dos nêutrons livres foi capturada para formar D.
Na expressão
acima, deixamos à esquerda só nD / nn e substituímos np
por:
Onde a expressão para ng é a de um corpo negro de temperatura T. Então:
Para obter Tnuc, fazemos nD = nn:
Exercício: Mostrar que Tnuc ≈ 0,066 MeV ≈
7,6 x 108 K, para mnc2
= 939,6 MeV; BD = 2,22 MeV
e η = 5,5 x 10-10.
Para Tnuc
≈ 0,066 MeV, a idade do Universo era tnuc =(1MeV/0,066MeV) = 230
s (os “famosos” ~ 3 minutos iniciais do Universo). Este tempo não é desprezível
frente ao tempo de decaimento do nêutron 
:
Então, se no
início das reações 
=1/5, passados 200 segundos:
Onde multiplicamos
o no. inicial de nêutrons pela fração que decaiu e o de prótons pela fração de
nêutrons que se transformou em prótons.
Esta nova razão
diminui o número máximo de núcleos de 4He,
e portanto Yp. Lembrando que 
: 
Se f = 0,20 →
Ymax = 0,33 (sem considerar o decaimento dos nêutrons)
Se f = 0,15 →
Ymax = 0,26, valor mais próximo do observado de 0,24.
Formação de 4He
O deutério, uma
vez formado, acaba entrando em outras reações que vão resultar na produção de 4He
através de:
O 4He
tem uma energia de ligação grande, e não há núcleo estável com A = 5, portanto
não há reações 4He + p ou 4He + n. Só são formadas
pequenas quantidades de 6Li e 7Li:
E,
igualmente, pequenas quantidades de 7Be:
Também não há
núcleo estável com A = 8, e o resultado é que a nucleossíntese começa com D e
essencialmente acaba em 4He, sendo que os detalhes dependem de
seções de choque que são funções da temperatura T.
Quando T ~ 4x108
K, para t ~ 10min, a nucleossíntese essencialmente termina, e abundâncias
primordiais de D, 3He, 4He, 6Li e 7Li
dependem de parâmetros físicos, e, em particular, do valor de 
, que pode ser obtido se tivermos observações de abundâncias
primordiais, em especial a de D, cuja abundância depende fortemente de . Uma dificuldade observacional com relação ao deutério D é que ele é destruído nas estrelas, e assim
precisamos observar o meio inter-galáctico para obter sua abundância primordial
\
Valores obtidos a
partir do meio intergaláctico (medindo absorção produzida na da luz de Quasares
distantes pelo meio intergaláctico que se interpõe):
Assimetria
Bárion/Anti-bárion
Há duas questões
fundamentais não respondidas no modelo do Big Bang quente e na teoria de formação
das partíuculas no Universo:
1)
Por que é tão pequeno?
2)
Por que o Universo “preferiu” bárions a anti-bárions?
Para discutir esta
questão, devemos considerar que os prótons e nêutrons são formados por quarks:
Próton: 2 quarks up e 1 quark down;
Nêutron: 1 quark up e 2 quarks down.
No Universo
primordial, quando kT ≥ 150 MeV, os quarks não estavam confinados. Havia
uma “sopa de quarks”, os quais eram produzidos e aniquilados:
Deve ter ocorrido
nesta época uma pequena assimetria entre quarks e anti-quarks:
À medida que o
Universo se expandiu e esfriou, não se produziram mais pares
quarks/anti-quarks. Os que existiam se aniquilaram em fótons, mas por causa do
pequeno excesso:
restaram estes
quarks para formar a matéria bariônica que hoje observamos.
Para exemplificar
a dimensão da assimetria: considerando que 1/η ≈ 2 x 109 ,
concluímos que haviam (1 x 109) quarks para (1 x 109 – 3)
anti-quarks. A cada bilhão de aniquilações entre quarks e anti-quarks, que
resultaram em 2 bilhões de fótons, sobraram 3 quarks. Estes 3 quarks depois se
juntaram para formar um bárion em kT ~
150 MeV, resultando em η ≈ 5 x 10-10 (razão entre no. de
bárions e no. de fótons). É uma assimetria bem pequena, mas fundamental para
criar o Universo como o conhecemos!