FIS02012 - Cosmologia e Relatividade
Profa. Thaisa Storchi
Bergmann
Bibliografia:
baseado no capítulo 9 do livro de Barbara Ryden
A Radiação Cósmica de
Fundo
Num comprimento de
onda λ de alguns mm, o Universo é uniformemente brilhante, a uma
temperatura de corpo negro de 2,725 K – que corresponde à radiação cósmica de
fundo (CMB). Se Olbers tivesse um olho sensível a este λ, não teria
formulado seu paradoxo. Só que a radiação não corresponde à temperatura superficial
das estrelas (milhares de K), mas a esta temperatura bem baixa de T = 2,725 K.
Já vimos que a densidade de energia
na radiação de fundo é somente:
Mas como a energia
média por fóton é pequena (6,34 x 10-4 eV), a densidade de fótons é
grande:
Comparemos esta densidade com a de
bárions:
A densidade de energia em bárions é
~ 800 vezes maior do que na radiação de fundo, mas, como a energia média por
bárions é muito grande (~939 MeV), a densidade de bárions é muito menor do que
a de fótons da radiação de fundo:
A razão entre a densidade de bárions
e de fótons da radiação de fundo é
O número de fótons
é dois bilhões de vezes o de bárions no Universo.
1)
Observação da CMB
Arno Penzias e
Robert Wilson, radioastrônomos trabalhando nos laboratórios Bell,
descobriram-na por acaso, observando com uma antena de rádio no λ =
O pico da radiação
de fundo ocorre em λ ≈ 2mm, bem menor do que o λ =
O espectro de
corpo negro da radiação de fundo foi observado em vários λ´s pela primeira
vez pelo satélite COBE (COsmic Background Explorer), que orbita acima da
atmosfera, lançado em 1989. Os três principais resultados das medidas feitas
com o COBE são:
1) Em qualquer posição do céu, o espectro da radiação de
fundo é muito próximo ao de um corpo negro ideal com desvio menor do que 10-4.
2) Há uma “distorção de dipolo”: em metade do céu o
espectro da radiação de fundo está um pouco “blueshifted” e na outra metade, um
pouco “redshifted”: resultado de um movimento do COBE relativo a um sistema de
referência em que a radiação de fundo está “em repouso”. ”. Para corrigir por
este efeito, é preciso fazer as seguintes correções no mapa observado:
2a) pelo movimento do COBE em torno da
Terra ( ~ 8 km/s);
2b) movimento da Terra em torno do Sol ( ~
30 km/s);
2c) movimento do Sol em torno do centro da
Via Láctea ( ~ 220 km/s);
2d) movimento orbital da Via Láctea no
Grupo Local ( ~ 80 km/s).
2e) Depois de fazer estas correções,
conclui-se ainda que o Grupo Local está se movendo na direção do Aglomerado de
Virgem, a maior concentração de matéria do Universo Local, e que o Aglomerado
de Virgem, por sua vez, está sendo acelerado na direção do superaglomerado de
Hydra-Centauro, com velocidade combinada dos dois efeitos de 630±20 km/s = 0,0021c:
principal causador do dipolo observado na radiação de fundo.
3)
Após subtração do efeito de dipolo restam flutuações
de temperatura, expressas como:
Onde <T> é a
temperatura média (2,725K).
As medidas do COBE deram um valor
para a flutuação quadrática média de:
Após excluir a
emissão do plano galáctico, que não vem da radiação de fundo, o resultado
indica grande isotropia na radiação de fundo. A observada isotropia da radiação
de fundo e o fato de ela ter um espectro de corpo negro dão um forte suporte ao
modelo de Big Bang quente do Universo.
2)
A Recombinação e o Desacoplamento
Para entender a
origem da radiação de fundo, temos que entender a passagem do estado de plasma
completamente ionizado para o de gás neutro da matéria bariônica do Universo.
Três épocas muito próximas no tempo podem ser distinguidas:
1) Época da “recombinação”: quando a matéria passa de
ionizada a neutra. Define-se como sendo o instante em que a densidade de íons é
igual à densidade de átomos neutros. (Observação: pode-se argumentar que esta é
a época da “combinação”, pois é a primeira vez que os elétrons se combinam com
os núcleos, portanto dizer “recombinação” não estaria correto).
2) Época do “desacoplamento dos fótons”: instante em que
os fótons deixam de interagir com os elétrons, e o Universo se torna
transparente. Quantitativamente, é o instante em que a taxa de espalhamento de
fótons por elétrons se torna menor que a taxa de expansão do Universo (que é o
parâmetro de Hubble).
3) Época do último espalhamento: tempo em que um fóton
típico da radiação de fundo sofre seu último espalhamento por um elétron.
Vamos considerar a seguinte
simplificação: A matéria bariônica do Universo consistindo somente de H na
época da recombinação. Grau de ionização do Universo pode então ser expresso
como:
onde: np
= densidade de prótons, ne = densidade de elétrons, nH =
densidade de átomos neutros e a última igualdade resulta da observação de que o
Universo é neutro. O intervalo de valores de X é 0 ≤ X ≤ 1 ( 0 =
completamente neutro e 1 = completamente ionizado)
Processo de ionização:
Recombinação:
O valor de X vai
depender do balanço entre fotoionização e recombinação.
Consideremos uma
época antes da recombinação, por exemplo, quando a = 10-5 (z = 105).
No Modelo Padrão, isto corresponde a uma idade de somente 70 anos para o
Universo.
A Temperatura da radiação de fundo
era:
A energia média
por fóton era:
h <ν> ≈
2,7kT ≈ 60eV (>>Q=13,6 eV, o potencial de ionização do H); bem
maior que a necessária para ionizar o H; considerando, também, que havia 2 x 109
fótons para cada bárion, os átomos de H eventualmente formados eram logo
destruídos e X ≈ 1.
Nesta época, a
interação dominante era o espalhamento Thompson dos fótons pelos elétrons, cuja
seção de choque é σe =
6,65 x 10-29 m2. O livre caminho médio de um fóton era:
E a taxa de interação era:
Podemos obter ne
da época considerando que ne = nbar;
Ou seja: 3x por
semana!!!
Os fótons ficam
“acoplados” com os elétrons enquanto Γ > H (taxa de interações maior
que taxa de expansão do Universo), o que é equivalente a dizer que o livre
caminho médio é menor que a distância de Hubble: l < c / H. Enquanto esta
condição for obedecida, os fótons, elétrons e prótons ficam em equilíbrio
térmico e têm a mesma temperatura T. Quando Γ se tornar menor do que H, os elétrons se afastam mais rapidamente do
que ocorre a interação com os fótons, provocando o desacoplamento entre os
mesmos tornando o Universo transparente.
Durante a fase de domínio da
radiação (a menor do que arm), a equação de Friedmann era:
Para a = 10-5,
H = 2,1 x 10-10 s-1 que é muito menor do que Γ,
portanto nesta época os fótons estavam acoplados aos elétrons e prótons (o
Universo era opaco).
3)
A Física da Recombinação
Temperatura aproximada no momento da
recombinação: pode ser estimada considerando que nesta época a energia média
por fóton deveria ser da ordem do potencial de ionização do H, Q=13,6 eV:
Entretanto, a
radiação de fundo não possui somente fótons com a energia média (a distribuição
de energia é a de um corpo negro), contendo também fótons com energias bem mais
altas. Assim, mesmo a temperaturas bem mais baixas que esta haverá fótons
ionizantes.
Para calcular a época da
recombinação é mais interessante utilizarmos o valor de X, o grau de ionização
do Universo. Para podermos calcular X em função de T, precisamos usar mecânica
estatística, em particular a equação de Saha, que dá a relação entre o no. de
átomos neutros, ionizados e os elétrons no equilíbrio de ionização (lembre que
estamos usando uma aproximação em que o Universo só contém hidrogênio):
Substituindo, da definição de X:
e fazendo ne
= np (neutralidade),
Da definição de
e 
, conclui-se que:
Do espectro de corpo negro para ng, podemos obter:
Substituindo na equação acima para 
:
Equação do segundo grau cuja raiz positiva é:
Definindo o momento da recombinação como sendo
aquele em que 
:
Portanto,
Sendo Q = 13,6 eV
e η = 5 x 10 -10 , encontra-se que:
Bem menor que os
60000 K estimados anteriormente,
O redshift z
correspondente será:
A idade
correspondente do Universo, no Modelo Padrão é: Trec = 240000 anos.
Exercício: Demonstrar.
A recombinação não
foi um processo instantâneo; demorou milhares de anos.
Exercício: Mostre que X = 0,9 (90% de ionização) ocorreu
em z = 1475 e que X = 0,1 (90% de neutralidade) ocorreu em z = 1255. No Modelo
Padrão, o intervalo de tempo transcorrido neste processo foi de Δt ≈ 70000 anos.
Agora, quando ocorre o
desacoplamento matéria-radiação? Vem logo depois da recombinação, quando o
número de elétrons livres cai rapidamente. O desacoplamento matéria-radiação
ocorre quando o livre caminho médio do fóton é maior do que a distância de
Hubble c/H:
Ou seja, a taxa de espalhamento por fótons é
menor que a taxa de expansão do Universo.
O desacoplamento se dá quando estas taxas se
igualam:
Assim, logo depois da recombinação,
quando o número de elétrons livres cai rapidamente: A taxa de espalhamento por
fótons é dada por:
Portanto,
Na época do desacoplamento, o
Universo é dominado pela matéria, e podemos usar a equação de Friedmann na
forma:
Que é a taxa de expansão do Universo.
O redshift
correspondente ao desacoplamento é:
Usando-se a função
X(z) (Fig. 4 do livro de Barbara Ryden) chega-se a zdes=1130. O
valor mais exato para zdes é 1100 porque assumimos que a reação de
ionização/recombinação ocorre no equilíbrio e isto não é bem verdade.
Exercício: Qual é a temperatura correspondente a zdes?
A
Superfície de Último Espalhamento
O fóton da
radiação de fundo que chega até nós num tempo t0 sofreu um número de
espalhamentos desde um tempo t dado por:
Esta equação define
a profundidade ótica.
Define-se o tempo
t para o qual 
como tempo do último espalhamento
(intervalo de tempo transcorrido desde o último espalhamento)
Mudando a variável
de integração para “a”:
t→a; t0→a=1:
Fazendo:
Se a = 1→z = 0; se a = a→z = z,
logo:
Sendo:
Teremos:
Substituindo a
função para X(z) e fazendo-se , resulta que o z para o último espalhamento é da ordem do z
para o desacoplamento:
Na verdade, os
fótons da radiação de fundo não sofrem o último espalhamento todos ao mesmo
tempo; melhor seria chamar “camada de último espalhamento”, que tem uma pequena
“espessura” ou “profundidade” em z (p.ex. vai de z ≈ 1200 até z ≈
1000).
Tabela1: Eventos
relevantes ao redor da época da recombinação
|
|
z |
T (K) |
t (M anos) |
t (anos) |
|
Eq. mat./rad. |
3570 |
9730 |
0,047 |
47000 |
|
Recombinação |
1370 |
3740 |
0,240 |
240000 |
|
Desacoplamento |
1100 |
3000 |
0,350 |
350000 |
|
Último Espalhamento |
1100 |
3000 |
0,350 |
350000 |
A época do
desacoplamento marca um momento importante na evolução do Universo: o fluido
único fóton-bárion se separa em dois, um de bárions e outro de fótons, e a
partir deste momento os bárions estão “livres” da constante interação com os
fótons e podem colapsar sob a força da gravidade entre eles, dando origem às
primeiras estruturas do Universo.
4)
Flutuações de Temperatura na Radiação de Fundo
Após subtração da distorção de
dipolo da radiação de fundo, sobram flutuações de temperatura que refletem o
tamanho das flutuações de densidade em z ≈ 1100. O tamanho angular destas
flutuações de temperatura está relacionado ao seu tamanho físico através da
relação:
Como a superfície
de último espalhamento está a um redshift z = 1100 >> 1, usa-se a
relação:
Para:
Portanto,
No Modelo Padrão,
a distância do horizonte é dhor(t0) ≈ 14000 Mpc, de
forma que dA(z = 1100) ≈ 13 Mpc.
Então, o tamanho próprio das estruturas de tamanho
angular δθ em z = 1100 é:
Observa-se que as
menores flutuações encontradas na radiação de fundo têm δθ ≈ 0,17º, l = 0,04 Mpc, que na
época atual corresponde a l0 = l(1+z) = 40 Mpc, que é o tamanho
típico dos superaglomerados de galáxias.
Uma descrição matemática para as
flutuações de temperatura observadas na radiação de fundo em função dos ângulos
q e f é dada por:
onde Ylm(θ,φ)
são os harmônicos esféricos. Esta descrição matemática é útil devido ao fato de
que vemos a radiação de fundo vindo de uma superfície esférica.
Propriedade estatística importante
de δT / T: a função de correlação C(θ), definida como:
Onde 
e 
indicam direções
separadas por um ângulo θ no céu. Quanto maior C(θ), mais
correlacionadas estarão as flutuações de temperatura.
Substituindo as expressões de
δT / T acima por sua expansão em harmônicos esféricos resulta:
onde Pl
são os polinômios de Legendre, o que significa que a função de correlação pode
ser decomposta em “momentos de multipolo” Cl. Os valores de Cl
serão não nulos para separações angulares maiores do que a resolução do
instrumento.
Significado de Cl:
é uma medida das flutuações de temperatura em escalas angulares δθ ≈
180º/l. O termo de monopolo (l = 0) d’;a a temperatura média; o termo de dipolo
(l = 1) é devido ao nosso movimento em relação à radiação de fundo (em direção
a Virgo + movimento de Virgo em direção a Hydra-Centauro); os termos para l ≥
2 são os de maior interesse, pois revelam os tamanhos das flutuações de T na
superfície de último espalhamento.
O gráfico de 
vs l (Fig. 9.6 do livro de Barbara Ryden) mostra o
comportamento das flutuações de temperatura em função de l. Nota-se um pico
para l ≈ 180º correspondente a δθ ~ 1º, e l ≈ 0,22 Mpc.
A
Causa das Flutuações de Temperatura.
É interessante constatar que este
máximo corresponde à distância de Hubble na época do último espalhamento:
Então θ ≈
1º ≈ θH(esp), o tamanho angular correspondente a
distância de Hubble na época.
A distância de
Hubble corresponde aproximadamente à distância do horizonte na época, que é a máxima
distância dentro da qual há comunicação através de fótons (horizonte causal). Para
θ > θH (l<180°) a origem das flutuações de T é
diferente daquelas com θ < θH (l>180°).
Origem das Flutuações de
Temperatura com θ > θH:
São originadas do
efeito gravitacional de flutuações de densidade primordiais na distribuição da
matéria escura não bariônica. Não podem ter a ver com os fótons porque fótons
não tiveram tempo de percorrer mais do que 0,22 Mpc ou θ ≈ 1º até a
época do desacoplamento ou último espalhamento:
Densidade de
energia na matéria escura não-bariônica na época do último espalhamento:
Densidade de
energia em matéria bariônica:
Densidade de
energia em fótons:
A densidade
de energia escura, que é a mesma que a atual (0.7 x 5200 MeV m-3)
era totalmente desprezível na época.
Então, na época do
último espalhamento, εdm > εγ >
εbar. Portanto, a matéria escura não-bariônica dominava a
densidade de energia na época do último espalhamento.
Assumindo uma
expressão para a densidade de energia em matéria escura:
Sendo 
, o valor médio, e 
a variação.
Numa aproximação
Newtoniana, uma componente variável espacialmente da densidade de energia
δε vai originar uma variação no potencial gravitacional, que obedece
à equação de Poisson:
Onde F é o potencial gravitacional.
Flutuações de
densidade levam necessariamente a flutuações no potencial gravitacional.
Um fóton que
esteja num mínimo de potencial no seu último espalhamento, deverá perder
energia para escapar do potencial e será “redshifted”. Por outro lado, um fóton
que estiver num máximo do potencial vai ganhar energia ao cair num poço de
potencial e vai ser “blueshifted”. Portanto, as manchas frias (redshifted) no
mapa da radiação de fundo correspondem às regiões de mínimo de δφ e
as manchas mais quentes (blueshifted) correspondem às regiões de máximo do
δφ. Os cientistas Sachs & Wolfe em 1967 obtiveram uma relação
entre δT e θΦ.
Chama-se Efeito
Sachs-Wolfe a criação de flutuações de T devido a flutuações de Φ. As flutuações
de T para θ > θH ≈ 1° fornecem um mapa de δφ da época do último
espalhamento.
Origem das Flutuações de Temperatura com θ <
θH
Dentro de θH
os fótons e bárions têm um papel. Antes do desacoplamento entre os fótons e
bárions, estes formam um “fluído” fóton-bárion, que se move sob a ação
gravitacional da matéria escura, uma vez que a densidade de energia do fluido é
≈ 1/3 da densidade de energia da matéria escura. Se o fluido fóton-bárion
se aproxima de um poço de potencial da matéria escura, ele vai cair dentro do
potencial. Ao ser comprimido pela gravidade, a pressão do fluido aumenta. Até
que esta pressão provoca uma expansão do fluido; a pressão então cai e daí a
força gravitacional provoca uma nova compressão e assim se originam as chamadas
“oscilações acústicas”, uma vez que representam uma espécie de onda
estacionária no fluido fóton-bárion. Isto acontece até o desacoplamento dos
fótons e bárions. No momento do desacoplamento, o fluído pode estar na fase de
compressão máxima e os fótons vão ser “mais quentes” que a média; por outro
lado, para a parte do fluído que está na máxima expansão, os fótons vão estar
“mais frios” que a média. Se o fluído fóton-bárion está no processo de expansão
ou contração durante o desacoplamento, o efeito Doppler vai provocar que os
fótons liberados sejam também “mais frios” ou “mais quentes” que a média.
Interpretação do
pico mais alto na curva 
observado em 
, ou 
na Fig. 9.6 (Barbara
Ryden): representa os poços de potencial dentro dos quais o fluído fóton-bárion
atingiu a máxima compressão na época do último espalhamento. Estes poços de
potencial tinham tamanhos próprios 
.
A localização e
amplitude do pico mais alto na Fig.9.6 (Barbara Ryden) é um diagnóstico
cosmológico. O tamanho angular θ de um objeto de tamanho próprio conhecido
depende da curvatura do Universo. Para um Universo de curvatura negativa, o
tamanho angular é menor do que num Universo de curvatura positiva.
A Fig. 9.7
(Barbara Ryden) mostra os valores de 
e 
resultantes dos dados do
COBE para a radiação de fundo. A intersecção destes valores com os provenientes
dos resultados de medidas de magnitudes aparentes de Supernova tipo 1a conduzem
aos resultados: 
, 
e 
.
A amplitude do
pico depende da velocidade do som no fluido fóton-bárion logo antes do
desacoplamento:
Ou seja, depende
do parâmetro da equação de estado ωfb que, por sua vez, depende
da razão 
e, portanto, da
densidade de bárions no Universo. A análise detalhada da curva resulta em:
