Topologia e Transições de Fases

Uma das abordagens mais interessantes e formais para entender a fenomenologia envolvendo a dinâmica e termodinâmica dos vidros é o paradigma da superfície de energia (landscape paradigm). A enorme quantidade de estados metaestáveis característico dos sistemas formadores de vidros implica que as funções de energia potencial U(q_1,...,q_N) e energia livre F(m_1,...,m_N) destes sistemas apresentem uma topografia complexa, com infinidade de mínimos locais e pontos de sela com um número variável de direções estáveis e instáveis. Podemos pensar nestas funções como superfícies num espaço multidimensional de N dimensões (o número de graus de liberdade) apresentando uma topografia de cumes, vales e passagens entre vales, de diferentes alturas e complexidade. Num sistema clássico, é intuitivo imaginar que quanto menor a energia total do sistema, mais confinada a dinâmica do mesmo ficará numa região limitada do espaço de fases. Em outras palavras, a estrutura da superfície de energia potencial será determinante das propriedades dinâmicas do sistema a energias baixas. Estas idéias têm levado a resultados novos e fundamentais sobre a origem da transição vítrea.

No entanto, uma proposta mais ousada, conhecida como Hipótese Topológica, baseada no contexto de uma geometrização da mecânica clássica, sugere que a estrutura topológica da superfície de energia potencial de um sistema físico pode nos dizer se este irá ou não apresentar uma transição de fases a alguma energia (temperatura)  finita.

A hipótese, sustentada em alguns resultados rigorosos e alguns exemplos particulares, indica que a evidência de uma transição de fases poderia ser encontrada numa transição ou cambio na topologia de alguma função ou invariante topológico associado ao sistema, como por exemplo a Característica de Euler. A característica de Euler é uma função do número e complexidade (número de direções estáveis) dos pontos estacionários da energia potencial, e, desta forma, seu conhecimento é, de certa forma, uma medida da complexidade do sistema considerado. A medida que variamos a energia potencial, uma transição topológica aparece quando o sistema passa por um ponto estacionário, nestes níveis a topologia da superfície muda.

Nos últimos anos temos trabalhado na caracterização topológica de alguns modelos clássicos da física estatística, como o modelo esférico de Berlin-Kac, com o inutuito de obter informações para validar ou não a Hipótese Topológica. Nossos resultados, junto com os de outros grupos, indicam que, contrariamente ao suposto na hipótese original, a topologia apenas não é suficiente para marcar uma transição de fases. Apesar disto, a caracterização topológica da energia de uma sistema oferece informação fundamental sobre a relação entre a complexidade da paisagem ou landscape e a dinâmica do sistema e, por exemplo, a existência de transições vítreas.

Alguns trabalhos nossos nessa área:

  1. Topology and phase transitions: the case of the short range spherical model
            S. Risau-Gusman, A. C. Ribeiro-Teixeira and D. A. Stariolo
           J. Stat. Phys. 124, 1231-1253 (2006)
  2. Topology, phase transitions and the spherical model
            S. Risau-Gusman, A. C. Ribeiro-Teixeira and D. A. Stariolo
           Phys. Rev. Lett. 95, 145702 (2005)
  3. Quasi-stationary trajectories of the HMF model: a topological perspective
            F. A. Tamarit, G. Maglione, D. A. Stariolo and C. Anteneodo
           Phys. Rev. E 71, 036148 (2005)
  4. The topological hypotesis on phase transitions: the simplest case
            A. C. Ribeiro Teixeira and D. A. Stariolo
           Phys. Rev. E 70, 16113 (2004)




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