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Aula do dia 16/06/1998
Relembremos a última equação derivada, na aula passada, para F_1,
onde já usamos o fato de que a freqüência é a derivada do Hamiltoniano não perturbado
em relação à ação. Atentem para o fato de a freqüência w_o depende da ação,
O subíndice "o" indica freqüência de um movimento integrável não perturbado.
H_1 já é uma função periódica de theta. Vamos supor também que seja uma função periódica
do tempo. Grande parte das perturbações realísticas apresentam periodicidade temporal.
Com isto, podemos escrever H_1 como uma série dupla de Fourier da seguinte forma:
Os coeficientes (H_1)_m,n são funções de I' e w_lambda é a freqüência da perturbação.
Funções periódicas podem ser escritas genéricamente na forma (3).
Já que escrevemos H_1 na forma da série (3), tentemos o mesmo para nossa função incógnita
F_1, sempre lembrando que H_1 é conhecido, e que F_1 deve ser procurada como a solução
de (1). Pois então escrevamos:
Substituindo (4) e (3) em (1), ficamos com
Os coeficientes das exponenciais devem se cancelar independentemente, já que os valores
de theta e de "t" são totalmente arbitrários. É justamente desta condição que tiramos
a expressão de nos fornece F_1 em função de H_1:
A expressão (6) tem problemas. Eles aparecem quando para algum par (m,n) de inteiros
positivos ou negativos, ocorre a igualdade:
Chama-se este tipo de situação de "ressonante." E como trabalhar com a teoria quando
estamos em face à uma ressonância? Para responder a questão, analisemos duas possibilidades"
- (i) Teoria independente do tempo.
- (ii) Teoria dependente do tempo.
(i) Teoria independente do tempo:
Aqui H_1 é independente de t. Então não temos o somatório sobre o índice "n" em nenhum
ponto do formalismo. Em particular, a Eq. (6) se escreve como
Esta expressão não pode ser aplicada para m=0. Portanto, neste caso independente do
tempo, redefinimos a F_1 na seguinte forma:
H' se escreve como
que ainda pode ser escrito, com auxílio das séries de Fourier, na forma
Usando (9), (10) acaba se por se transformar em
onde fazemos uso explícito da dependência de H' S MENTE na variável I'. Como a média
angular de H_1 é calculada como
ainda podemos reescrever (11) na forma sugestiva
que muito lembra a Mecânica Quântica. O que é importante notar é que H' depende sómente
de I'. Com isto I' E H' são constantes e a dinâmica perturbada passa a ser integrável
em ordem epsilon.