A Prova

1) O Lagrangeano tem forma arbitrária L(ẋ₁, ẋ₂, x₂-x₁, t) e como tal deve ser interpretado. Em particular, não deveria ser usada a forma cartesiana L = m₁ ẋ₁²/2 + m₂ ẋ₂²/2 + U(x₁,x₂,t).

Dadas então as transformações de coordenadas, X=x₁+x₂ e y=x₂-x₁, a diferença x₂-x₁ presente no Lagrangeano original automaticamente se converte em y, e a nova coordenada X fica ausente. Potanto, o momentum ∂L/∂Ẋ é conservado. O passo a seguir é escrever ∂L/∂Ẋ em termos de regra da cadeia para diferenciação de funções de funções. Primeiro, invertemos a transformação de coordenadas para escrever x₂=(X+y)/2 e x₁=(X-y)/2. A seguir, escrevemos 

p_X=∂L/∂Ẋ=∂L/∂ẋ₁ ∂ẋ₁/∂Ẋ+∂L/∂ẋ₂ ∂ẋ₂/∂Ẋ = 1/2 (p₁+p₂).

2) O primeiro passo da segunda questão é usar as transformações de coordenadas e escrever o Lagrangeano nestas novas coordenadas. O segundo passo é o de escrever o Hamiltoniano nestas novas coordenadas, cuidando para expressar este Hamiltoniano em termos dos momenta e não em termos de velocidades Ẋ e ẏ, como muitas pessoas fizeram. A teoria Hamiltoniana e as equações canônicas só tem sentido formal no espaço (q,p) e não no espaço (q,q̇)! Apesar disto, os sacrílegos que usaram (q,q̇) como argumento do Hamiltoniano, mas que mantiveram uma certa consistência de cálculo, não foram interiamente punidos. H=p_X² /(4 m) + p_y²/m+қ/2 y² é a forma correta do Hamiltoniano.

O terceiro passo era provar que p_X era constante, decorrência de que ṗ_X=-∂H/∂X e do fato de que X não está presente no Hamiltoniano, e provar que h=p_y²/m+қ/2 y² é constante. Esta última parte referente a prova de que h é constante deveria ter sido feita explícitamente. Bastaria calcular ḣ=2 p_y ṗ_y /m + қ y ẏ, usando as equações canônicas ṗ_y = -∂H/∂y = -қ y e ẏ = +∂H/∂p_y = 2 p_y/m. Isto resulta em ḣ=0. 

Para a última parte do problema o caminho mais fácil é usar o fato de que h é uma constante. Como condição inicial ẏ=- v₀ o que, de acordo com a equação canônica para y nos diz que como condição inicial temos p_y=mv₀/2, além de y=0 na alegada posição de equilíbrio. Como condição final limiar, temos y=-l₀ e p_y=0 no momento da colisão. Portanto, usando a constância de h, ficamos com

mv₀²/4=қ/2 l₀², 

de onde sai o resultado final. Uma outra alternativa correta seria resolver (corretamente) a equação diferencial do oscilador harmônico em y, opção inteiramente válida adotada por algumas pessoas.