A investigação de dipolos magnéticos requer alguns teoremas preparatórios.

Suponhamos a existência de correntes estacionárias e localizadas J=J(r), e calculemos integrais do tipo

onde f e g são funções arbitrárias. O último termo de (85) pode ser reescrito como
 

já que  a divergência da corrente é nula em casos estacionários! A primeira integral da segunda linha de (86) pode ser convertida em uma integral de superfície pelo Teorema de Gauss e se cancela quando a corrente é localizada. Conclusão: para correntes estacionárias e localizadas, I=0!

Agora tomemos f=1, g=x:

Para f=g=x

Para f=x, g=y,

e assim por diante.

Consideremos a equação para a indução magnética do ponto de vista microscópico:

Já sabemos o que fazer para converter (90) em uma equação macroscópicamente promediada. Basta seguir a receita do caso eletrostático, multiplicando ambos os lados de (90) por uma função peso f=f(r') que só é diferene de zero quando r' estiver em um região microscópicamente grande mas macroscópicamente pequena, nas vizinhancas de r'=0, e integrando em r'. Supondo a integral de f normalizada a unidade, temos para a corrente média,

Troquemos as variáveis de integração r''=r+r', r'=r''-r. Ficamos então com

Escrevamos finalmente r''=r_n+r, onde todas as grandezas estão definidas na figura a seguir:

Com isto nossa integral (92) adquire o seguinte aspecto

Agora expandindo (92) em termos de r,

onde o gradiente haje sobre r (daí a troca de sinal)! A primeira integral em (93) vale zero pelas igualdades acima. Para a segunda integral podemos permutar J e r trocando o sinal:

o que nos fornece

onde

é definido como o momento de dipolo magnético da molécula ``n'' e f~1/V caracteriza a função f. Somando agora sobre todas as moléculas presentes em V, ficaríamos com

onde M=M(r) é a densidade dipolar magnética média no ponto r.

A equação para a indução magnética média assume o aspecto (suprimindo a barra indicando médias...)

de onde

O campo magnético H é definido como

e tem como fonte apenas as correntes livres, como anunciado em (99). Na ausência de correntes livres, o campo H pode ser obtido a partir de potenciais, já que seu rotacional é nulo. Obtenhamos o potencial gerado por um magneto colocado em uma posição r'. Para tanto, basta partir do teorema da reconstrução:

A partir de (101), notamos que se pode escrever