Magnetostática: Introdução


Do ponto de vista do teorema da reconstrução de Helmoltz, até este ponto estamos nos concentrando em fontes escalares que não fazem menção a nenhum tipo de velocidade. Se desejássemos investigar uma possível fonte cuja "habilidade" para gerar campos dependesse da velocidade como deveríamos proceder? Bem, pensemos informalmente da seguinte maneira: estas novas fontes dependentes da velocidade deveriam ser proporcionais à carga elétrica, caso contrário estaríamos lidando com outro tipo de interação. Ademais, como fontes são densidades, elas deveriam conter algum tipo de função delta indicando sua posição. Finalmente, se desejamos inserir velocidades na discussão, poderíamos supor que as fontes fossem proporcionais à velocidade. A fonte seria, portanto, uma entidade vetorial, e não escalar, já que depende de velocidade. Olhando para o Teorema da Reconstrução, equação (42) da "aula" 5, notamos que tão somente dois tipos de fontes lá estão presentes. Uma fonte escalar e uma vetorial. A fonte vetorial seria a adequada para a inclusão de velocidades.

Denotemos por B o campo dependente da velocidade das fontes. O teorema da reconstrução ficaria com o aspecto:
 
 


O termo envolvendo o rotacional de B é a fonte. E nossas hipóteses quanto a sua forma, descritas no parágrafo anterior, podem ser materializadas da seguinte forma;
 


onde m0 é a constante de proporcionalidade e onde a soma é estendida a todas as "fontes" do sistemas, (=partículas carregadas) indexadas com j=1,2,3,....N;reconhecemos J(r) como a densidade microscópica de corrente.

Substituindo (76) em (75) ficamos com a seguinte expressão
 


onde introduzimos o conceito de potencial vetor A(r).

Os somatórios em (77) podem ser transformados em integrais no caso de distribuições contínuas. Aqui, em 3D, as integrais são convergentes e não singulares, como acontecia no caso eletrostático. A discussão sobre a necessidade da introdução de um parâmetro regulador não será refeita.

Pois em casos onde tenhamos uma densidade volumétrica de cargas, (77) se converte em
 
 


onde novamente J denota a densidade de corrente, agora vista como uma função ``suave'' das coordenadas. Em sistemas filamentares, o elemento de volume pode ser expresso como d3r'=da dr', onde da é um elemento de superfície transversal a corrente e dr' e' um elemento de comprimento ao longo dela.
 
 

Como Jda=I ficamos então, de (78), com
 




onde dr é um elemento de comprimento vetorial ao longo da corrente e onde já usamos a identidade vetorial:
rot dr/r=-dr X grad(1/r)=drXr/r3.

A expressão (79) é conhecida como lei de Biot-Savart.

Ate' agora temos o campo B, mas não sabemos como ele faz força. Para descobrir qual o caráter da força gerada por um campo B, também chamado de INDUÇÃO MAGNÉTICA, consideremos dois circuitos fechados e exijamos ação-reação entre eles. Ainda não sabemos a forma da força entre eles, mas para que haja simetria a ponto de satisfazer ação reação, as variáveis devem aparecer na forma mais simétrica possível. Assim, a força executada por um circuito 1 em um circuito 2 deveria ser construída simétricamente a partir do campo gerado por 1 em 2; seria algo como:
 


Verifiquemos se a expressão é antissimétrica frente a troca dos índices 1 e 2, tal que F12+F21=0.
 


Já que na última linha as variações de 1/r12 em ciclos fechados são nulas; r12=r2-r1!! Ou seja a expressão para a força F12 é antissimétrica e o princípio da ação-reação é respeitado por nossa construção.

Conclusão, se existir um campo que exerça forças através de velocidades, é provavel que sua estrutura seja dada por (79); o único elemento a ser determinado experimentalmente é a constante m0.

Como resultado final, notem que a força exercida pelo campo no circuito 2 pode ser escrita genéricamente na forma:
 
 

que pode ser generalizada para

Se r(r)=qjd(r-rj),


que é a assim chamada força de Lorentz exercida sobre uma partícula aqui batizada de j.