Relações de Descontinuidade e o Tensor de Maxwell

Imaginando uma interface entre um meio 1 e um meio 2, como na figura, podemos obter as relações entre os campos eletrostáticos em ambos os lados. A integral da divergência do campo D deve forncecer a carga total depositada na interface e o rotacional de E é nulo.
 


Aplicando as condições sobre o rotacional nulo e sobre a divergência não necessáriamente nula, a figura acima acaba por gerar os seguines resultados. Etangencial,1=Etangencial,2 e (Dnormal,2 - Dnormal,1).n=s. n denota a normal a interface, apontando do meio 1 para o meio 2.
 
 

Tensor de Maxwell


O tensor de Maxwell permite calcular forças eletrostáticas executadas sobre corpos carregados. Pra obtê-lo, primeiramente calculemos a foça sobre um dipolo com uma carga negativa em r e uma positiva de mesmo módulo em r+d.

A densidade de forças fica com o aspecto


onde P denota a densidade de polarização. Agora, por exemplo,


se usarmos o fato de que o rotacional de E ser nulo para escrever a segunda linha da expressão (62). Generalizando para 3 dimensões vetoriais,

onde estamos supondo linearidade entre P e E, mas não necessariamente homogeneidade de c. Se estivermos lidando com forças integradas, (63) pode ser integrada por partes para fornecer uma densidade de forças ''efetivas'' do tipo

A esta força devemos somar aquela sobre as cargas livres:

Calculando a componente x,


A parte envolvendo o último termo pode ser tratada como no caso da polarização, de onde deduzimos, fazendo a extensão tri-dimensional novamente

A densidade total de forças pode então ser escrita na forma:

(c(r)=e(r)-e0) onde o tensor de Maxwell T foi definido como:


I é o assim chamado tensor, ou diádico unitário. O produto tensorial entre D e E se executa simplesmente aplicando a propriedade distributiva da multiplicação às representações cartesianas dos dois vetores. Uma vez que as densidades de forças tenham sido definidas em termos de uma divergência, a força total pode ser calculada como uma integral de superfície, sobre uma superfície arbitrária cercando apenas o corpo de interesse. De fato, o teorema da divergência de Gauss nos diz que

Por exemplo, observem o capacitor a seguir
 

.


Se estivermos interessados em calcular a força sobre a placa superior a superfície adequada é a indicada. As contribuições lateriais se cancelam por simetria e a componente ao longo de y nos informa o seguinte:

onde A é a área útil do capacitor.

Em aulas passadas vimos que o campo que um punhado de cargas na superfície de um condutor ''percebe'' é dado por


(Este campo, que não varia quando se vai de dentro para fora do condutor, deve ser capaz de cancelar o campo gerado pelo punhado das cargas dentro do condutor, que é exatamente s/2e0.)

O campo percebido é o campo total menos o autocampo - o autocampo não é ''sentido'' pelo punhado das caras que o produziu. A força sobre o punhado de cargas é então


o que coincide com a expressão anterior! Notem que D=s na superfície.