Eletrostática em Meios Materiais

Como exercício, e tendo em vista o cálculo de campos moleculares, tratemos de obter o campo elétrico gerado por um distribuição volumétrica de dipolos, assim como representado na figura a seguir:

O interesse é calcular o campo gerado pela distribuição P(r) dentro do volume V cercado pela superfície S. Como vimos no último tópico, na ausência de cargas líquidas,

Com o uso do teorema da reconstrução isto nos permite obter o campo elétrico em qualquer ponto no interior do volume V como

O volume V envolve uma singularidade da divergência de P, já que este último vetor salta de valores finitos no interior, para zero na borda. Seria mais interessante trabalhar com P e não com a divergência de P, ao menos nas vizinhancas de S. Para tanto o procedimento é o seguinte: estender a integral em (55) até S_oo (o não altera o valor da integral, dado o fato de que P=0 no exterior de V) e dividí-la em duas parcelas: uma que vai até S' e outra que vai de S' a S_oo. A parecela que vai até a superfície vermelha S' perserva o aspecto retratado em (55) - a vantagem, agora, é que esta parcela fica livre da singularidade em S. Para o cálculo da outra parcela, procedemos como segue:

Mas a última integral é nula, já que envolve uma região com P não nulo volumétriamente infinitesimal - olhem a figura. Além disto, a integral de superfície sobre Soo também é nula pois P é nulo no infinito. Acabamos com a expressão

onde a normal agora é a normal definida em relação ao volume V' e não mais a Voo-V' como na expressão (56)!; daí a troca de sinal.

Resumindo:

Nos casos em que P seja constante, no interior (exclusivo) a V, que denotamos por V', o primeiro membro se cancela. Com relação ao segundo, podemos alinhar P com o eixo z e então ficamos com

de onde, supondo o cálculo do campo no centro de uma bola de raio a,

O campo molecular, ou exato, é calculado da seguinte forma: do campo médio TOTAL em um ponto qualquer r, subtraímos o campo médio de uma bola em torno deste ponto e adicionamos um campo microscópico em substituição ao campo médio da bola erroneamente calculado se estivermos interessados em campos exatos. Para situações suficientemente simétrias, o campo microscópico é nulo (notem que desprezamos campos gerados por cargas livres para regioes macroscópicamente pequenas - cargas livres geram campos médios nulos no centro de "bolas")! Disto temos

E(r) denota o campo médio. P em geral é bastante pequeno, de onde a correção do campo é também pequena.