Solução de Problemas de Eletrostática

Agora sabemos que a equação de Poisson acompanhada por condições de contorno produz soluções unívocas a problemas de eletrostática.

Resolvam então o problema proposto na figura abaixo:
 


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Todas as faces do paralelepípedo estão submetidas a potencial 0, a excessão da face superior que possui um potencial Vo. Supondo que não haja fontes na região interna do paralelepípedo, obtenham a solução da equação de Laplace aí:

Para tanto, antes de mais nada mostrem que soluções do tipo

satisfazem as condições de contorno em x e y. A seguir, mostrem que a equação de Laplace exige

Mostre então, considerando a arbitrariedade dos números inteiros n e m, que a solução completa para o problema se escreve

Como tarefa final, obtenham os coeficientes An,m em termos de Vo.

E no caso em que estejamos lidando com problemas com fontes, problemas de Poisson, como devemos proceder? Nestes caso, a maneira mais prática de obter a solução do problema é com o uso de funções de Green.

Imaginem um buraco contendo cargas e cercado por uma superfície fechada S. Para quaisquer duas funções f1, f2 definidas no buraco, vale o teorema de Green, derivado a partir da lei de Gauss:
 


Invertendo f1 e f2 na expressão acima, operando com a divergência nos lados esquerdos das respectivas equações e subtraindo a equação invertida de (24) temos:

onde a derivada parcial com subscrito "n" denota a componente normal do respectivo gradiente.

Para o caso específico de problemas de eletrostática, escolhamos f2 como o potencial eletrostático f que desejamos calcular, e f1 na forma
 



 


r0 é um parâmetro ainda indeterminado, e f1 passa a ser rebatizado como exposto na forma (26). Substituindo tudo em (25) e lembrando da equação de Poisson para f, ficamos com
 



Aqui fica claro o papel de r0; é o ponto de observação. Notamos que as condições de contorno sobre a função G ainda não foram impostas - só sabemos que ela segue a equação diferencial (26). Se estivermos interessados em obter a solução para um problema de Dirichlet onde o campo eletrostático é conhecido no contorno, mas não sua derivada, de (27) fica claro que a função de Green adequada será aquela em que G ao longo do contorno S é idênticamente nula. Este é o caso a ser explorado ao longo do curso. Outras condições podem também ser definidas, mas não analisaremos tais casos.

Uma propriedade interessante das funções de Green para o problema de Dirichlet, é que elas são
simétrias frente a troca da fonte e ponto de observação.

Demonstre isto no seguinte problema: suponha duas funções de Green, ambas satisfazendo contorno zero, com pontos de observação distintos: G(r,r1) e G(r,r2). Insiram estas funções na expressão do teorema de Green (25) e mostrem que genéricamente G(r1,r2)=G(r2,r1).

A função de Green satisfaz então a equação (25) com contorno nulo. Físicamente ela representa o potencial de uma partícula com carga e04p cercada por um condutor cuja fronteira coincide com o contorno do problema físico em questão. Meditem sobre isto.

O cálculo de funções de Green pode ser bastante longo e complexo. Mas alguns casos são interessantes. Como aplicação da teoria, calculem o potencial eletrostático, ou a função de Green - ambos são similares - para o caso de uma partícula colocada ao longo do eixo y de um sistema de coordenadas e cercada por duas superfícies condutoras infinitas, como no desenho abaixo:
 


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A carga q está em x=z=0, y=y' e nas superfícies S o potencial, ou função de Green, se anula. Estamos ante o problema de uma carga encapsulada por dois condutores planos, que gera um problema formidável de cargas imagem. Mas tratemos de resolver o problema via função de Green. (i) Mostrem que a equação diferencial a ser satisfeita é
 



 


Como do ponto de vista das condições de contorno o problema é homogêneo nas direções x e z, escrevam a solução na forma de integrais de Fourier ao longo destes dois eixos:
 



 


onde k =(kx,kz) é o vetor recíproco respectivo a coordenada transversal r=(x,z). Notando agora que


 


valendo o mesmo para a coordenada z, mostrem que
 



 


Obtenham a solução em termos de senos hiperbólicos (ou exponenciais reais) que satisfaçam as condições de contorno nas duas superfícies, casem as soluções na singularidade y=y' e procurem regenerar a solução, realizando a integração (no caso simplificado x=z=0) indicada em (29).