Magnetostática: Levitação Magnética

Lancemo-nos então ao cálculo da força agindo sobre um pequeno magneto.

A expressão da força magnética agindo sobre qualquer distribuição de correntes é dada por:

Supondo um campo que varie pouco ao longo da distribuição de correntes, podemos expandir o campo magnético em (102) e chegar a

onde supusemos que a origem do sistema de coordenadas coincida com o centro da distribuição de correntes.

O primeiro termo da expansão produz força nula, já que ele envolve uma simples integração volumétrica da corrente, que, como vimos, é nula.

Agora, examinando a componente ``z'' do segundo termo, temos, por exemplo,

Expandindo o produto escalar,

Notando que integrais envolvendo os mesmos subindices de corrente e coordenada se anulam, ficamos com (lembrar que as derivadas dos campos magnéticos devem ser encarados como números constantes aqui):

Aqui devemos nos lembrar das antisimetrias envolvendo integrais de coordenadas e correntes e da definição do momento magnético m.

Generalizando a expressão (106) para sua forma 3D vetorial:

que também pode ser escrita na seguinte forma quando o rotacional de B for nulo:

se aplicarmos a devida identidade vetorial em (107). Notem que (108) então só funciona quando não houver correntes livres no sistema! A expressão (107) é a mais geral. Suponham então um magneto alinhado ao longo do eixo z, que é o eixo de simetria de um loop circular de corrente:

.

Supondo um magneto m de massa m, sob a ação da gravidade g, determinem a altura h na qual ele levita sobre o loop de raio a que conduz uma corrente I.