Formação de imagem conjugada por uma lente

Prof. Rafael Pezzi - Instituto de Física / UFRGS - Curso: Física III - C 2015/2

Sendo um objeto localizado a uma distância \(p\) de uma lente de distância focal \(f\) podemos utilizar a equação \(\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}\) para determinar a posição \(i\) da imagem. Com algebra encontramos \[i=\frac{fp}{p-f}\]

Para uma lente com distância focal de 25 cm, obtemos o seguinte

In [1]: 
#Apresenta imagens no notebook
%pylab inline

Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Posição da "i" imagem (y) em função da posição "p" do objeto

Lente convergente p positivo.

In [2]: 
f=25 #distância focal da lente
p=linspace(0,50,500) #limites do gráfico
plt=scatter(p,f*p/(p-f))
pylab.ylim(-350,550)
pylab.xlim(0,50)
grid('on')

Velocidade de uma imagem quando o objeto está em movimento

a velocidade de uma imagem formada por um objeto em movimento diante de uma lente é dada pela derivada temporal: \[\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{i} \right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{f}\right)\]

\[p^{-2}\frac{dp}{dt}+i^{-2}\frac{di}{dt}=0\]

\[\frac{di}{dt}=-\frac{i^2}{p^2}\frac{dp}{dt}\]

Como \(\frac{dp}{dt} = v_p\) e \(\frac{di}{dt} = v_i\)

e usando \(i=\frac{fp}{p-f}\) obtemos

\[\frac{di}{dt}=v_i=\frac{-f^2*v_p}{(p-f)^2}.\]

Vamos considerar um objeto se afastando com velocidade uniforme de 5 cm/s de uma lente com distância focal de +25 cm.

In [3]: 
vp=5 #Velocidade do objeto (em cm/s)
f=25 #distância focal da lente (em cm)
p=linspace(0,500,5000) #limites do gráfico
grid('on')
plt2=scatter(p,-f**2*vp/(p-f)**2)
pylab.ylim(-100,0)
pylab.xlim(0,100)
Out[3]:
(0, 100)

Acima temos a velocidade da imagem (v_i) em cm/s (eixo y) em função de p em cm (eixo x) para um objeto se movendo com velocidade de 5 cm/s. Perceba que a velocidade da imagem tende ao infinito quando o objeto se aproxima do ponto focal e que as velocidades são sempre negativas.

Grafico de posição da imagem em função da posição do objeto para uma lente divergente

Considerando distância focal -25 cm. Objeto no lado virtual (apenas 0 positivo).

In [4]: 
f=-25 #distância focal da lente
p=linspace(0,200,500) #limites do gráfico
plt3=scatter(p,f*p/(p-f))
pylab.ylim(-30,0)
pylab.xlim(0,200)
grid('on')

Acima:

Abaixo, gráfico da velocidade da imagem em função da posição do objeto real. Velocidade em cm/s e posição em cm.

In [5]: 
vp=5 #Velocidade do objeto (em cm/s)
f=-25 #distância focal da lente (em cm)
p=linspace(0,500,5000) #limites do gráfico
grid('on')
plt4=scatter(p,-f**2*vp/(p-f)**2)
pylab.ylim(-10,0)
pylab.xlim(0,100)
Out[5]:
(0, 100)

Abaixo, posição da imagem em função da posição do objeto (em cm) conforme conjucação por lente divergente, inclindo região para objeto virtual (p menor que zero).

In [6]: 
f=-25 #distância focal da lente
p=linspace(-200,200,500) #limites do gráfico
plt3=scatter(p,f*p/(p-f))
pylab.ylim(-130,30)
pylab.xlim(-200,200)
grid('on')
In [6]: