Formação de imagem conjugada por uma lente

Prof. Rafael Pezzi - Instituto de Física / UFRGS - Curso: Física III - C 2015/2

Sendo um objeto localizado a uma distância $p$ de uma lente de distância focal $f$ podemos utilizar a equação $\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}$ para determinar a posição $i$ da imagem. Com algebra encontramos $$i=\frac{fp}{p-f}$$

In [1]:
#Apresenta imagens no notebook ao invés de novas janelas
%pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Gráficos: Posição da imagem (i) em função da posição do objeto (p)

Lente convergente, distância focal de 25 cm.

In [2]:
f = +20 # distância focal da lente (cm)
p = linspace(-50,50,1000) # intervalo a ser calculado
plt = scatter(p,f*p/(p-f)) # cria o gráfico
plt.axes.set_title(u'Posição da imagem: Lente convergente', fontsize=16)
plt.axes.set_xlabel('p (cm)', fontsize=18)
plt.axes.set_ylabel('i (cm)', fontsize=18)  
plt.axes.set_xlim(-50,50)
plt.axes.set_ylim(-200,200)
grid('on')

Lente divergente, distância focal de -25 cm.

In [3]:
f = -20 #distância focal da lente
p = linspace(-50,50,1000)  # intervalo a ser calculado
plt3 = scatter(p,f*p/(p-f)) # cria o gráfico
plt3.axes.set_title(u'Posição da imagem: Lente divergente', fontsize=16)
plt3.axes.set_xlabel('p (cm)', fontsize=18)
plt3.axes.set_ylabel('i (cm)', fontsize=18)  
plt3.axes.set_xlim(-50,50)
plt3.axes.set_ylim(-200,200)
grid('on')

Velocidade de uma imagem quando o objeto está em movimento uniforme

Partindo da equação $\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}$, a velocidade de uma imagem formada por um objeto em movimento diante de uma lente pode ser encontrata a partir da sua derivada temporal: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{i} \right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{f}\right)$$

$$p^{-2}\frac{dp}{dt}+i^{-2}\frac{di}{dt}=0$$$$\frac{di}{dt}=-\frac{i^2}{p^2}\frac{dp}{dt}$$

Como $\frac{dp}{dt} = v_p$ e $\frac{di}{dt} = v_i$

e usando $i=\frac{fp}{p-f}$ obtemos

$$\frac{di}{dt}=v_i=\frac{-f^2*v_p}{(p-f)^2}.$$

Para ilustrar este resultado, vamos considerar um objeto se afastando com velocidade uniforme de 5 cm/s de lentes convergentes e divergentes.

Objeto real se afastando de uma lente convergente

In [5]:
vp = 5 #Velocidade do objeto (em cm/s)
f = 25 #distância focal da lente (em cm)
p = linspace(0,500,5000)  # intervalo a ser calculado
plt2=scatter(p,-f**2*vp/(p-f)**2) # cria o gráfico
plt2.axes.set_title('Velocidade da imagem: Lente convergente', fontsize=16)
plt2.axes.set_xlabel('p (cm)', fontsize=14)
plt2.axes.set_ylabel('v_i (cm/s)', fontsize=14)  
plt2.axes.set_xlim(0,100)
plt2.axes.set_ylim(-100,0)
grid('on')

Perceba que a velocidade da imagem tende ao infinito quando o objeto se aproxima do ponto focal e que as velocidades são sempre negativas.

Objeto real se afastando de uma lente divergente

In [6]:
vp = 5 # Velocidade do objeto (em cm/s)
f= -25 # distância focal da lente (em cm)
p = linspace(0,500,5000)  # intervalo a ser calculado
plt4 = scatter(p,-f**2*vp/(p-f)**2) # cria o gráfico
plt4.axes.set_title('Velocidade da imagem: Lente divergente', fontsize=16)
plt4.axes.set_xlabel('p (cm)', fontsize=14)
plt4.axes.set_ylabel('v_i (cm/s)', fontsize=14)  
plt4.axes.set_xlim(0,100)
plt4.axes.set_ylim(-6,0)
grid('on')
In [6]: