Teoria dos Números e Física
Física e Teoria dos Números
O que a FÍSICA e a TEORIA DOS NÚMEROS tem em comum?
Comece lendo o seguinte texto:
O novo brilho das equações Abelianas,
Escrito em comemoração do Bicentenário do
Nascimento de Abel
J.A.C. Gallas,
Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática, 47,
Outubro 2002.
O chamado esqueleto de órbitas periódicas
instáveis (OPIs) em atratores caóticos é,
hoje em dia, um assunto bem reconhecido
e estudado em fisica teórica.
Na verdade, é possível argumentar-se que a descoberta de que
as OPIs fornecem um esqueleto para a organização dos
sistemas com dinamica
muito complexa pode ser considerada como um dos maiores avanços
na compreensao do comportamento dos distemas dinamicos nao-lineares
durante a decada passada. Por outro lado, sabe-se que a formula de
Gutzwiller do traço conecta os autovalores do operador de
Schrödinger quando a constante de Planck tende a zero (o limite
semi-classico) com orbitas fechadas do sistema clássico correspondente.
Para sistemas físicos modelados através de mapas,
um problema fundamental
é conhecer-se as propriedades das equações
de movimento que definem
as OPIs bem como as configurações estaveis.
Como temos demonstrado numa série de trabalhos publicados ao longo dos
últimos 5 anos, o estudo de tais equações de movimento
fornece uma ponte ampla,
interconectando a fisica e a teoria dos numeros.
Singularidades tanto no espaço de parâmetros como no
espaço de fase implicam
na necessidade da utilização de uma matematica ainda pouco usual na
fisica, a Teoria dos Números, que
não é de modo algum menos rica do que a
Análise Matemática familiar aos físicos.
Um resultado marcante do seculo XX foi a percepção de que
inumeros observaveis da natureza são, na verdade, quantizados.
Tal fato experimental irrefutável nos parece indicar que,
em vez de uma descrição matematica em termos de
variaveis continuas,
uma descrição microscopica dos
fenomenos naturais requeira talvez uma representação
mais sofisticada,
em termos de Corpos Algébricos,
com os quais se pode perfeitamente construir os operadores familiares
da análise.
Assim,
do mesmo modo como os números complexos são essenciais
para a Mecânica Quântica, quem desejar construir uma
Teoria do Caos Determinístico
necessita uma compreensão bem mais detalhada
do sistema de números reais e, em particular, da estrutura
dos Números
Algébricos bem como dos polinômios mínimos
usados para defini-los.
Os números algébricos tornam-se importantes no estudo
dos sistemas dinâmicos cujas equações de
movimento são definidas através de mapas polinomiais.
A razão desta importância
é bastante simples: todas equações de movimento,
que definem trajetórias, são
Equações
Abelianas polinomiais.
As raízes de tais polinômios são os pontos
orbitais no espaço de fase. Sendo raízes de
polinômios, todos pontos orbitais são, naturalmente,
números algébricos, que possuem uma
estrutura intrínseca muito rica,
portadora de infomações valiosas sobre aspectos
dinâmicos.
O portal de Matthew R. Watkins
http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins
Texto Interessante (1900) de David Hilbert
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