Lista de exercícios 2

                   

1.    Desenhe o triângulo de posição para um astro de declinação sul, observado em Porto Alegre (latitude φ = -30°) após sua passagem meridiana (isto é, a oeste). Identifique os lados e ângulos do triângulo. R.:

2.    Ao observarmos certa estrela em Porto Alegre medimos z = 25°10′ e A = 92° 35′. Calcular a declinação da estrela e seu ângulo horário no instante da observação.

R.:
sen d = sen f cos z + cos f sen z cos A = (-0,5*0,9050)+(0,8660*0,4253*-0,0451)
sen d = -0,4525-0,0166 = -0,4691. Assim, d = -25d 58´33´´
cos H = sec f cos z sec d - tan f tan d = (1,1547*0,9051*1,1111)-(0,5774*0,4843)= 1,1612 - 0,0259 = 0,8816.
Assim, H tem como cosseno o valor de 0,8816. Lembrando que o ângulo horário deve ser negativo e próximo do valor de z (visto que o azimute está proximo da direção Leste). Lembrando que o negativo de um ângulo tem o mesmo valor em cosseno que o próprio ângulo, temos assim H = -28d 09´50´´

3.    Uma estrela observada em um lugar de latitude φ = 38° 59′ tem declinação δ = -38° 32′ e H = 3h. Calcular o azimute e a altura da estrela no instante da observação.

R.: cos z = (cos H + tan f tan d) cos f cos d => z = 87d49´08´´

cos A = sen d csc z sec f – tan f cot z => A = 147,3413° ou A = 212,6582°

Como o astro já passou pelo meridiano, temos que o azimute deve estar no terceiro ou quarto quadrante. Assim, temos A = 212,6582° = 212°39′29,52′&prime

4.    Uma estrela tem α = 60° e δ=45°. Outra tem α = 30° e δ=45°. Qual a separação angular entre as duas estrelas?

R.: Chamando d a distância angular entre as duas estrelas, e A e B as estrelas, temos que:
cos d = sen &deltaAsen &deltaB+ cos &deltaA cos&deltaBcos (&alphaA- &alphaB)

d = arc cos (sen 45°sen 45°+ cos 45° cos45°cos (60°-30°))= 0,5 = ),5 x 0,8660 = 0,9330= 21,0906° = 21°5′26′′

5.    Que condição indica que um astro aparece ou desaparece no horizonte? R.: Sua distância zenital é sempre 90d quando do nascer ou ocaso. O Azimute do nascer do astro esta sempre entre 0d e 180d e o ocaso entre 180d e 360d. Usando essa condição para a estrela Rigel (β Centauri), δ = -60° 40,5′, observada no Rio de Janeiro (φ = 23°S ) determine

a.     O azimute da estrela no instante do seu nascimento.

R.: No nascer e no ocaso: cos A = sen δ sec φ = sen δ/cosφ
δ = -60,6750° → sen δ = -0,8719
φ = -23 ° → cos φ = 0,9205
cos A = -0,8719/(0,9205) = -0,9472 → A = 161,2986 ° (astro a leste) ou A = 198,7013 ° (astro a oeste) 675

Portanto, no nascimento o azimute é 161° 18′

b.    O tempo que essa estrela permanece acima do horizonte.

R.: Ela permanece acima do horizonte umtempo igual ao dobro de seu angulo horário no ocaso.
No nascer e no ocaso vale a relação:
cos H = - tanφ tanδ = - tan (-23°) tan(-60,6750°) = - 0,7556 → H = 139,0807° (astro a oeste) ou H = 220,9193° (astro a leste); Portanto, no ocaso seu ângulo horário é 139,0807° = 9,2720 h. Logo ela fica acima do horizonte 2 x 9,2720h = 18,5441 h = 18h 32min 38,73s

6.    Um observador em Porto Alegre enxerga a estrela Achernar, cuja ascensão reta é α = 1h36min43s, com um ângulo horário H = 2h5min25s.

a.     Qual a hora sideral local?

R.: HS = H + a = 3h42min08s

b.    Sabendo que a declinação de Achernar é δ = -57° 12′, determine quantas horas essa estrela fica acima do horizonte em Porto Alegre.

R.: Calculando o ângulo horário (cos H = -tanδtanφ) temos H=153,6309 ° = 10,2421 h que multiplicado por 2 fornece um tempo de 20,48h = 20h 28min48s

7.    Qual é o máximo ângulo horário para o qual um observador em Porto Alegre pode enxergar um astro de declinaçâo δ= +25°?

R.: Ao nascer ou se por teremos para este astro cos H = -tanφtanδ= -0,574 x 0,4663 = -0,2692 → = H = 74°23′ = 4h 57min 32s.

8.    Considere o Sol no dia do solstício de dezembro. Assumindo que durante todo este dia sua declinação se mantém constante, de valor δ = -23°27′, responda:

a.     Quais os valores de H do Sol no instante do seu nascer e de seu ocaso em Porto Alegre (φ = -30)°?

Os itens a, b e c deste problema estão resolvidos como exemplo na aula de trigonometria esférica

d.    Desenhe o triângulo de posição do Sol nesse dia, para um observador em Porto Alegre, num instante em que o Sol está com ângulo horário de aproximadamente 3h (a oeste).