Spin

Spin 1/2

Estados de spin

A descrição matemática dos estados de spin 1/2, bem como da sua evolução temporal num campo magnético, pode ser encontrada nestas apostilhas (em formato .pdf).

A Experiência de Stern-Gerlach

O texto abaixo acompanha um mini-aplicativo (applet Java).

Descrição do aparelho

O aparelho de Stern-Gerlach consiste essencialmente num imã produzindo um campo magnético não uniforme. Um feixe de átomos penetra no imã numa direção perpendicular ao gradiente do campo magnético. Em conseqüência da interação do seu spin com o campo magnético, os átomos sofrem uma deflexão na sua passagem pelo campo. Na saída do imã, os átomos são detectados por contadores, que podem eventualmente atuar como filtros.

Interação do spin atômico com o campo magnético

Ao spin (ou momento angular intrínseco) do átomo é associado um momento magnético, proporcional ao spin. Pode-se mostrar que um campo magnético não uniforme aplica sobre um momento magnético uma força na direção do gradiente do campo. O valor da força é proporcional ao gradiente do campo e à componente do momento magnético na direção deste gradiente.

Se portanto, como é o caso no applet, o gradiente do campo for vertical e a direção inicial do feixe de átomos for horizontal, os átomos serão defletidos para cima ou para baixo, dependendo do valor da componente do seu spin na direção vertical. Especificamente, supomos que os átomos cuja componente vertical do spin for positiva serão defletidos para cima e aqueles cuja componente vertical do spin for negativa serão defletidos para baixo.

Quantização do spin

Na mecânica quântica, o spin é quantizado. O spin de um dado átomo pode ser caracterizado por um número quântico s que pode assumir valores inteiros ou semi-inteiros. Para um dado valor de s, a projeção do spin sobre um eixo qualquer pode assumir 2s+1 valores variando de -s a +s por incrementos unitários (em unidade da constante de Planck racionalizada). Lidaremos com átomos de spin s=1/2, em qual caso a projeção do spin pode tomar os valores +1/2, ao qual referimo-nós como spin para cima e -1/2, ao qual referimo-nós como spin para baixo.

De acordo com a discussão da interação do spin com o campo magnético, átomos com o spin para cima serão defletidos para cima na passagem através do imã, ao passo que átomos com spin para baixo serão defletidos para baixo. Assim, observando o sentido da deflexão de um átomo, podemos medir a componente do spin do mesmo na direção do eixo vertical.

Medição na mecânica quântica

Na mecânica quântica, o valor de uma quantidade física (usualmente chamada de observável) não pode em geral ser predito com certeza. O que a teoria faculta é atribuir uma probabilidade a cada possível valor de um observável. Para confrontar estas probabilidades teóricas com fatos empíricos, precisamos realizar medidas sobre um número N de sistemas idênticos e contar o número de vezes Nv que um valor particular v do observável é obtido. No limite em que o número N de medidas fica muito grande, a freqüência relativa Nv/N de ocorrências do valor v aproxima a probabilidade Pv associada a este valor.

Por exemplo, no caso da experiência de Stern-Gerlach, se N é o número de átomos no feixe e N+ o número de átomos defletidos para cima, então N+/N aproxima a probabilidade P+ de que o átomo possua spin para cima.

Estados puros

Na discussão da medição de um dado observável, os estados para os quais a probabilidade de obter um resultado particular é a unidade desempenham um papel destacado. No caso de uma componente de um spin s=1/2, há dois tais estados, que denotaremos |+> e |->, indicando o sinal do valor correspondente. Estados mais gerais, para os quais tanto o resultado positivo quanto o resultado negativo são possíveis, podem ser construídos por superposição linear destes estados, i.e.:

|estado geral> = c+ |+> + c-|-> ,

onde c+ e c- são números complexos arbitrários, sujeitos à condição de normalização

|c+|2 + |c-|2 =1 .

Os coeficientes c+ e c- comtêm toda a informação que é possível adquirir a respeito do estado de um spin 1/2. Se esta informação máxima é disponível, diz-se que o sistema está num estado puro. Em tal estado, as probabilidades para os dois possíveis resultados da medida são

.
P+ =|c+|2        e        P- =|c-|2

No applet, os coeficientes c+ e c- são supostos reais e são parametrizados em termos de um ângulo q por

c+ = cos(q/2)       e       c- = sin(q/2) .

Embora o movimento, através do aparelho de Stern-Gerlach, de um átomo cuja componente vertical do spin é conhecida com certeza [i.e. um átomo num estado |+> ou |->] possa ser descrito aproximadamente em termos da mecânica clássica de uma partícula puntual, uma descrição mais precisa associa ao átomo um pacote de ondas, i.e. uma distribuição de probabilidade cujo centro descreve a trajetória clássica. Para um átomo no estado de spin geral, o pacote de ondas é separado pelo imã em duas componentes, uma das quais é defletida para cima e a outra para baixo. As probabilidades associadas a estas componentes são P+ e P-, respectivamente.

Misturas estatísticas

Um estado puro contem a informação máxima que pode ser adquirida a respeito de um sistema quântico. Nem sempre tal informação é disponível. Em muitos casos, somos apenas capazes de atribuir probabilidades aos vários estados possíveis. Por exemplo, para o feixe de átomos entrando no aparelho de Stern-Gerlach, poderiamos ter conhecimento somente das probabilidades de o estado de spin ser |+> ou |->. Temos então uma mistura estatística. Embora usaremos as notações P+ e P- também para estas probabilidades, a sua natureza é profundamente diferente daquela possuida pelas probabilidades associadas às componentes de um estado puro.

No caso de um feixe atômico, um estado de spin puro corresponde a um feixe completamente polarizado, ao passo que uma mistura estatística corresponde a um feixe parcialmente polarizado se as probabilidades associadas aos vários estados diferem entre se, e a um feixe não polarizado se estas probabilidades são todas iguais.

Se o feixe atômico constitui-se numa mistura estatística dos estados |+> e |->, aqueles átomos que estiverem no estado |+> serão defletidos para cima pelo imã, enquanto aqueles átomos que estiverem no estado |-> serão defletidos para baixo.

Redução do estado quântico

Quando é realizada uma medição sobre um sistema quântico, o resultado da mesma fornece informação nova a respeito do sistema em questão. Isto implica numa modificação das probabilidades associadas aos possíveis resultados de uma medida subsequente. Já que estas probabilidades podem ser deduzidas do conhecimento do estado quântico, pode-se concluir que uma medição afeta o estado quântico, de uma maneira que depende do resultado obtido. Na verdade, no caso o mais simples, o resultado obtido determina completamente o estado quântico subsequente. Esta alteração do estado quântico pela medição é chamada redução ou colapso do estado quântico.

No caso do experimento de Stern-Gerlach, se o detector localizado sobre a trajetória de deflexão para cima disparar, então, após o disparo, saberemos que o átomo possui spin para cima. Consequentemente, o spin deste átomo na saída do aparelho será descrito pelo estado |+>. Similarmente, se o detector localizado sobre a trajetória de deflexão para baixo disparar, o estado de spin subsequente será |->. Ou seja, o estado puro geral inicial será reduzido a |+> or |->, dependendo de qual dos detectores disparar.

Na verdade, nem precisamos de dois detectores para operar a redução completa do estado quântico. Se colocarmos um detector, por exemplo sobre a trajetória de deflexão para baixo, então se a passagem de um átomo pelo aparelho não provocar o disparo do detector, poderemos concluir que o átomo não terá sido defletido para baixo, e portanto terá sido defletido para cima. Em posse desta informação, poderemos afirmar que o átomo possui spin para cima e passaremos a descrevê-lo pelo estado |+>. Neste caso, o estado do átomo será reduzido sem nenhuma interação aparente entre o átomo e o detector!

Após a discussão acima, fica claro que a redução do estado quântico deve ser concebida como um processo lógico ligado à aquisição de informação nova, e não como um processo estritamente físico. Por esta razão, a busca de uma interpretação dos estados quânticos como representando uma realidade objetiva subjacente - atitude filosófica esta conhecida como realismo - é dificilmente conciliável com a mecânica quântica na sua formulação usual.

Estas considerações não devem ser esquecidas na hora de interpretar a visualização apresentada pelo applet, na qual a redução do estado quântico é mostrada de maneira bem concreta.

No caso de uma mistura estatística dos estados |+> and |->, a detecção dos átomos revela em qual destes dois estados um determinado átomo já estava ao entrar no aparelho. Este é o processo familiar de aquisição da informação que faltava para pode descrever com certeza uma situação que já existia antes da medida. Ele não implica numa redução do vetor de estado.

Usando o applet

Se você ainda não o fez, experimente agora o mini-aplicativo (applet Java).