Radiação e matéria

Efeito Compton

É de se esperar que raios X sejam espalhados pela matéria, assim como ocorre para qualquer radiação eletromagnética. Dentro do quadro conceitual fornecido pela teoria clássica de Maxwell, a explicação do fenômeno é simples. Sob a ação do campo eletromagnético incidente, as cargas elétricas que compõem a matéria entram em movimento oscilatório de freqüência igual à do campo. As cargas então passam a atuar como emissores, que produzem radiação de freqüência igual à do seu próprio movimento. A característica essencial deste processo é então que as freqüências - e portanto os comprimentos de onda - da radiação incidente e da radiação espalhada são iguais.

Já numa visão corpuscular, o espalhamento seria interpretado com uma colisão entre um fóton de raio X e uma partícula do material. Neste caso, haveria transferência de momentum do fóton incidente para a partícula atingida. Uma partícula inicialmente em repouso adquiriria momentum, e portanto energia cinética, na colisão. Por conservação da energia, haveria então uma diminuição da energia do fóton. A nível ondulatório, ocorreria portanto uma diminuição da freqüência, ou ainda, um aumento do comprimento de onda.

Compton¹ realizou experimentos nos quais raios X de energia inicial definida eram espalhados por um alvo de grafite. O comprimento de onda dos raios espalhados por um dado ângulo q, medido em relação à direção incidente, era determinado utilizando-se a difração de Bragg^1,2.

Esquema do experimento de Compton.

Os resultados dos experimentos indicaram que, para qualquer direção de observação que não seja a direção do feixe incidente, o espectro de raios X espalhados exibia duas linhas, uma de comprimento de onda igual ao dos raios incidentes e a outra de comprimento de onda maior. A diferença de comprimento de onda entre as duas linhas, aumentava com o ângulo de espalhamento. Estas características são incompatíveis com a visão meramente ondulatória do espalhamento, e qualitativamente consistentes com a visão corpuscular.

Espectro observado no experimento de Compton, para vários valores do ângulo de espalhamento.

[1] Arthur Holly Compton, físico americano, 1892-1962.
[2] William Henry Bragg, físico inglês, 1862-1942.
[2] Este procedimento utiliza um cristal como rede de difração.

Teoria da colisão fóton-elétron

• o espalhamento pode ser interpretado como uma colisão entre um fóton de raio X e um elétron do material alvo;
• como a energia de um fóton de raio X é muito maior que as energias cinéticas e potenciais de um elétron na matéria, podemos desprezar estas energias e considerar o elétron como livre e inicialmente em repouso;
• a energia e o momentum linear são conservados na colisão;
• como a energia inicial do fóton não é muito menor que a energia de massa do elétron, precisamos utilizar a cinemática Einsteiniana.

(7-1)

(7-2)

(7-3)

Para uma partícula massiva como o elétron, cuja massa de repouso denotamos por m_e, a relação Einsteiniana entre momentum e energia total fica

(7-4)

A cinemática da colisão está representada na figura. Antes da colisão, o momentum do fóton tem módulo p_g. A energia correspondente é E_g e o comprimento de onda é l. O momentum inicial do elétron é p_e = 0 e portanto a energia correspondente é E_e = m_e c². Após a colisão, o momentum do fóton tem módulo p_g' e faz um ângulo q com a direção do movimento do fóton incidente. A energia correspondente é E_g' e o comprimento de onda é l'. O elétron atingido recua com momentum p_e' numa direção fazendo um ângulo f com a direção de movimento inicial do fóton. A sua energia final é E_e'.

Cinemática do espalhamento de Compton.

Na notação vetorial, a equação de conservação do momentum linear fica

(7-5)

de onde tiramos

(7-6)

A conservação da energia toma a forma

(7-7)

ou

(7-8)

ou ainda, expressando as energias em termos dos momenta com a ajuda da relações (7-2) e (7-4):

(7-9)

Desenvolvendo o lado direito desta equação e efetuando algumas simplificações, obtem-se

(7-10)

Subtraindo a equação (7-10) da equação (7-6) e dividindo por 2, chegamos a

(7-11)

Conseguimos assim eliminar o momentum final do elétron das equações de conservação, obtendo, para um dado momentum inicial do fóton (ou seja, uma dada energia), uma relação entre o momentum final do fóton e o ângulo de espalhamento. Dividindo pelo produto dos momenta e reorganizando os termos, podemos re-escrever esta relação na forma:

(7-12)

Vale notar que até este ponto, o desenvolvimento foi inteiramente baseado na cinemática relativística de partículas. Para deduzir o resultado ondulatório desejado, qual seja, a expressão da modificação do comprimento de onda no espalhamento, basta multiplicar a equação (7-12) pela constante de Planck e invocar a relação (7-3); o resultado é:

(7-13)

Vê-se que o aumento do comprimento de onda no espalhamento é uma função simples do ângulo de espalhamento e é independente do comprimento de onda (ou da energia) inicial. A escala do deslocamento é determinada pela quantidade

(7-14)

o assim chamado comprimento de onda de Compton do elétron, cujo valor é

(7-15)

Aqui nós deparamos com um fato importante: ao introduzir uma escala de ação, epecificada pela constante de Planck, a física quântica associa a cada partícula uma escala intrínseca de comprimento, inversamente proporcional à massa.

Vale notar que a teoria desenvolvida acima, embora principalmente destinada a explicar o segundo pico no espectro dos raios X espalhados num dado ângulo, fornece também uma explicação do primeiro pico, cujo comprimento de onda é igual ao do feixe incidente. Para os elétrons mais ligados num material, a energia de ligação pode chegar a dezenas de kilo-eletronvolts. Neste caso, o elétron atingido pelo fóton não pode ser considerado como livre, e é o átomo como um todo que recua para absorver o momentum transferido pelo fóton na sua mudança de direção. Substituindo-se a massa do elétron na fórmula pela massa do átomo, dezenas de milhares de vezes maior, obtem-se um deslocamento de comprimento de onda inobservável. Assim, neste caso, a interpretação quântica do espalhamento leva ao mesmo resultado que a teoria clássica: o comprimento de onda da onda espalhada é igual ao comprimento de onda da onda incidente.

[1] Conforme a tradição, utilizamos a letra g para referimo-nós a um fóton.
[2] Vale lembrar que a mesma relação entre a energia e o momentum associados a uma onda eletromagnética pode ser derivada da teoria de Maxwell.

Produção de raios X

Aparelho de raios X.

O espectro dos raios X produzidos apresenta um contínuo, assim como linhas para comprimentos de onda bem definidos, que discutiremos após ter estudado a estrutura quântica do átomo. Ao serem freados pela matéria, os elétrons dos raios catódicos perdem energia e produzem radiação, por isso denominada radiação de freamento, responsável pela parte contínua do espectro. Uma característica notável deste espectro é que ele se extende apenas até um certo valor mínimo l_min do comprimento de onda, que depende da voltagem V aplicada ao tubo mas não da natureza do material utilizado para o alvo. Evidentemente, de acordo com a teoria de Einstein, esta radiação é constituída de fótons, e Einstein foi logo capaz de explicar o corte no espectro e calcular o valor de l_min, supondo que corresponde ao caso no qual toda a energia adquirida pelo elétron ao atravessar a diferença de potencial é perdida na emissão de um único fóton. Obviamente, isto fornece a maior freqüência possível n_max para o fóton de raio X,

(7-16)

e portanto o menor comprimento de onda,

(7-17)

Inserindo os valores das constantes fundamentais, esta relação pode ser re-escrita na forma conveniente:

(7-18)

com V em volts.