O Skyrmion

Lagrangiano efetivo

• Um Lagrangiano efetivo é um Lagrangiano semi-fenomenológico, construído em termos dos graus de liberdade efetivos do sistema (aqui, os campos de píons), possuindo as simetrias e propriedades topológicas desejadas, e válido numa certa região limitada de energia.

• Para energias (ou momenta lineares) baixas, a expansão geral de tal Lagrangiano em potências das derivadas dos campos pode ser truncada.

Modelo sigma não-linear

• Este modelo limita-se ao único termo quadrático nas derivadas dos campos, compatível com as simetrias:
  
  
  obviamente invariante frente à transformação
  
  

• A massa de um sóliton estático é dada por
  
  
  Este modelo não admite sólitons estáveis pois a massa é proporcional à escala espacial, que pode ser diminuida arbitrariamente.

Modelo de Skyrme

• Na quarta ordem nas derivadas dos campos, existem 3 termos independentes que podem ser acrescentados ao Lagrangiano. Porém, somente um destes é quadrático nas derivadas temporais. No intuito de possibilitar a formulação Hamiltoniana usual, exclui-se os demais termos. O termo retido é
  
  A densidade Lagrangiana resultante,
  
  define o modelo de Skyrme.

• Neste modelo, há possibilidade de sólitons estáveis pois a contibuição do novo termo à massa é inversamente proporcional à escala espacial, de maneira que a massa alcança um mínimo para uma certa escala.

O ouriço

• As equações de campo associadas ao Lagrangiano de Skyrme possuem uma solução estática tal que o campo de píons em cada ponto aponta na direção do vetor posição:
  
  A função q(r) é chamada ângulo quiral. A continuidade na origem requer q(0)= np.

• A carga topológica é dada por
  
  com n=1 para o núcleon.

• As equações de campo fornecem uma equação diferencial não-linear para o ângulo quiral.

Rotação coletiva - Quantização do spin e do isospin

• Os estados de spin e isospin dos bárions resultam da quantização do Hamiltoniano coletivo associado ao ouriço girante:
  
  Para o ouriço, rotações no espaço interno, associadas ao isospin, são equivalentes a rotações espaciais associadas ao spin.

• Uma parametrização conveniente da matriz de rotação coletiva é
  
  Substituindo o ansatz de ouriço girante no Lagrangiano de Skyrme, obtem-se o Lagrangiano coletivo
  

• Passando à formulação Hamiltoniana e quantizando as variáveis coletivas, obtem-se
  
  com os operadores de spin e isospin dados por
  

• As autofunções de S², I², S_z, I_z são polinômios homogêneos de ordem l, análogos aos harmônicos esféricos. Os autovalores S²= s(s+1) e I²= i(i+1) são dados por s= i =2 l. Assim, escolher a quantização fermiônica equivale a selecionar os valores ímpares de l. Isto resulta nas representações:

  Spin	Isospin	Partículas
  l/2	l/2	Núcleons
  3/2	3/2	Ressonâncias D

Fenomenologia

• Na forma apresentada acima, o modelo de Skyrme contem dois parâmetros, f_p e e. Usando dois dados experimentais, tais como as massas do núcleon e da ressonância D para determinar estes parâmetros, obtem-se uma descrição razoável (com precisão da ordem de 30%) das propriedades dos bárions (raios, momentos magnéticos, constantes de acoplamento, etc).

• Melhoramentos:
  • Extensão a SU(3)
  • Inclusão dos mésons vetoriais
  • Efeitos inerciais na rotação coletiva [H. B. Rodrigues, T. Kodama, M. B.]
  • Energia de ponto zero
  • Sacola de quarks na região central do sóliton (modelo híbrido)
  • ...

Carga topológica

Sumário

Aplicações