Carga topológica e número bariônico
Modelo simples
- Consideramos uma versão "brinquedo" do modelo quiral, na qual o espaço
de posição é unidimensional e a variedade de campo é
S1, um círculo num espaço euclideano
bidimensional.
-
O vínculo
permite a parametrização
- Para configurações de campo localizadas, o campo deve se aproximar a grandes
distâncias do seu valor no vácuo, qual seja
- Em razão desta condição, podemos "compactificar" o espaço de posição
R1, identificando os dois infinitos
(positivo e negativo), o que produz uma variedade topologicamente equivalente
a S1. Assim as configurações de
campos localizadas podem ser consideradas como
mapeamentos S1 ==>
S1.
- Tais mapeamentos formam classes de equivalência frente à deformação
contínua, chamadas classes homotôpicas. Cada classe é caracterizada por um
número inteiro, que especifica quantas vezes a variedade alvo é coberta
pelo mapeamento. O conjunto das classes homotôpicas forma um grupo,
chamado grupo de homotopia.
- No caso acima, o grupo de homotopia é
p1(S1),
que é isomórfico a Z, o grupo dos inteiros
(frente à adição).
- O número inteiro que caracteriza uma classe homotôpica é o
grau do mapeamento, usualmente chamado
carga topológica em teoria de campos.
- No modelo unidimensional acima, a carga topológica é dada por
que pode ser considerada como a integral da densidade de carga associada
à corrente topológica
que é trivialmente conservada.
Modelo quiral SO(4)
- As considerações acima possuem validade ampla e podem ser adaptadas ao
modelo físico.
- Para configurações de campo localizadas, o campo deve se aproximar a grandes
distâncias do seu valor no vácuo. Em razão desta condição, podemos "compactificar" o espaço de posição
R3, identificando todos os pontos infinitamente
distantes, o que produz uma variedade topologicamente equivalente
a S3. Assim as configurações de
campos localizadas podem ser consideradas como
mapeamentos S3 ==>
S3.
- O grupo de homotopia é agora
p3(S3).
Demonstra-se em topologia que este grupo é também isomórfico a
Z.
- A expressão da corrente topológica é
Número bariônico