Introdução

Equações fundamentais da física são formuladas como equações diferenciais ordinárias (EDO's). Para descrever o movimento do centro de massa de um corpo de massa $m$ sob a ação de uma força $\vec{F}$, usa-se a segunda lei de Newton¹:

$$\vec{F} = m\vec{a}$$

Essa força é externa ao corpo e, em geral, sua intensidade depende da posição $\vec{r}$. No caso de interações eletromagnéticas, depende também da velocidade do corpo $\vec{v}$ e, de uma forma geral, pode depender diretamente do tempo. Isto é.

$$\vec{F}=\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t)$$

Por outro lado, a aceleração é a variação temporal instantânea da velocidade ( $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$) que por sua vez representa a variação temporal instantânea da posição ( $v=\frac{d\vec{r}}{dt}$). Ou seja, ( $\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$).

Assim, na segunda lei de Newton formulada para este corpo está implícita a equação diferencial:

$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t) = m \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$ (1)

Há situações em que essa força é simples:

• A queda de um corpo na vizinhança da superfície da Terra, $\vec{F}=m\vec{g}$; nesse caso a força é constante.
• A força exercida por uma mola dentro do limite elástico do material, $\vec{F}=-k\vec{x}$; caso de forças restauradoras lineares.

Para esses tipos de forças (constantes ou dependentes linearmente da posição) podem-se obter soluções analíticas gerais para a equação diferencial. Isto é, podem-se obter as funções que descrevem a posição e a velocidade para quaisquer tempos.

A necessidade de se integrar numericamente EDO's surge em função da inexistência de soluções analíticas gerais para problemas onde os operadores diferenciais associados são não lineares.