Lista de Exercícios – Estado Sólido e Nuclear – UNIDADE 3

Problemas e questões baseados no D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física: 4ª ed. - caps. 46, 47 e 48, e 6ª ed. - cap. 42, 43 e 44.

Questões

1. A energia de Fermi de um dado metal depende do volume da amostra? Se, por exemplo, compararmos uma amostra de 1 cm³ de volume com outra cujo volume é duas vezes maior, a última amostra terá exatamente duas vezes mais elétrons de condução; isto parece indicar que teremos de subir para energias mais elevadas e preencher seus níveis disponíveis. Você concorda com isso?

2. Que papel o princípio da exclusão de Pauli desempenha na explicação da condutividade elétrica de um metal?

3. Discrimine cuidadosamente, entre as seguintes grandezas que aparecem na equação:

N₀(E) = N(E) P(E)

(a) a densidade de estados N(E), (b) a densidade de estados ocupados N_o(E) e (c) a função probabilidade P(E).

4. Na descrição da teoria de bandas, quais são as exigências essenciais para um sólido ser (a) um metal, (b) um isolante ou (c) um semicondutor?

5. Faça a distinção entre a velocidade de deriva e a velocidade de Fermi dos elétrons de condução num metal.

6. Na temperatura ambiente, um certo campo elétrico aplicado gera uma velocidade de deriva para os elétrons de condução do silício que é cerca de 40 vezes maior que a velocidade de deriva dos elétrons de condução do cobre. Por que o silício não é melhor condutor que o cobre?

7. Que outros elementos, além do fósforo, seriam bons candidatos para serem usados como impurezas doadoras de silício? Que outros elementos, além do alumínio, seriam bons candidatos para serem usados como impurezas aceitadoras? Consulte a tabela periódica.

8. Como podemos explicar o fato de que a resistividade dos metais aumenta com a temperatura enquanto que a dos semicondutores diminui?

9. As lacunas de energia dos semicondutores silício e germânio são 1,14 e 0,67 eV, respectivamente. Qual das duas substâncias você acredita ter maior densidade de portadores de carga à temperatura ambiente? E à temperatura do zero absoluto?

10. Por que um semicondutor do tipo n tem muito mais elétrons que buracos? Por que um semicondutor do tipo p tem muito mais buracos que elétrons? Explique com suas palavras.

11. O germânio e o silício são materiais semicondutores semelhantes, cuja diferença fundamental está na largura da lacuna E_g (veja a Fig. 46-8 ou 42-8) que é 0,67 eV para o germânio e 1,14 eV para o silício. Se quiséssemos construir uma junção p-n com a menor corrente inversa possível, qual dos dois semicondutores deveríamos escolher e por quê?

12. Quais são as diferenças básicas entre a assim chamada força forte e a força eletrostática?

13. Em seu corpo existem mais nêutrons que prótons? Mais prótons que elétrons?Discuta.

14. Por que os núcleos tendem a ter mais nêutrons que prótons para números de massa elevados?

15. Um certo núcleo de ²³⁸U foi criado na explosão de uma estrela maciça, talvez há 10¹⁰ anos. Subitamente ele decai por emissão alfa, enquanto o estamos observando. Após todos esses anos, por que ele resolveu decair neste particular instante?

16. Você está testando o tempo de vida das lâmpadas elétricas. Você espera que o “decaimento” das lâmpadas seja exponencial? Qual é a diferença essencial entre o decaimento das lâmpadas e o dos rádionuclídeos?

17. A meia-vida do ²³⁸U é de 4,47 x 10⁹ anos. De que maneira a medida de sua atividade pode ser usada para determinar a idade de rochas que contém urânio? Como contornar o fato de ser desconhecida a quantidade inicial de ²³⁸U contida nas rochas? (Sugestão: qual é o produto final do decaimento do ²³⁸U?)

18. A meia-vida do ¹⁴C é de 5.730 anos. Este isótopo é produzido na atmosfera superior pelo bombardeamento de raios cósmicos a uma taxa supostamente constante. De que maneira a medida de sua atividade pode ser usada na datação de amostras antigas contendo carbono, tais como artefatos egípcios de madeira ou os fragmentos de antigas fogueiras?

19. Explique por que, no decaimento alfa, as meias-vidas pequenas correspondem a grandes energias de desintegração, e, inversamente, as meias-vidas longas correspondem a pequenas energias de desintegração.

20. Um núcleo radioativo pode emitir um pósitron, e⁺. Isto corresponde no núcleo à conversão de um próton num nêutron. A massa de um nêutron, no entanto, é maior do que a de um próton. Como pode então ocorrer a emissão de pósitrons?

21. No decaimento beta, as partículas emitidas formam um espectro contínuo de energia, porém, no decaimento alfa, as partículas emitidas formam um espectro discreto.Que dificuldades esta diferença causa na explicação do decaimento beta, e como essas dificuldades foram finalmente superadas?

22. Em que os neutrinos diferem dos fótons? Cada um tem carga nula e (provavelmente) massa de repouso nula e se movem com a velocidade da luz.

23. Nem todos os nêutrons produzidos num reator estão destinados a iniciar um evento de fissão. O que acontece com os que não iniciam fissões?

24. O núcleo da Terra é constituído, segundo se pensa, por ferro. Pensa-se que, durante a formação da Terra, os elementos pesados, como o ferro, tenham afundado até o centro e os elementos mais leves, como o silício, tenham flutuado e formado a superfície da crosta terrestre. O ferro, no entanto, está longe de ser o elemento mais pesado. Por que o núcleo da terra não é constituído por urânio?

25. Pensa-se que a matéria dominante no universo primitivo tenha sido, em grande parte, o hidrogênio. De onde provém, então, o silício presente na Terra? E o ouro?

Problemas

CAPÍTULOS 46 - 4^a ed. e 42 - 6^a ed.

1. O ouro é um metal monovalente com massa molar de 197 g/mol e densidade de 19,3 g/cm³. Calcular a densidade de portadores de carga.

Resposta: 5,9 x 10²⁸ m^-3.

2. Use a Equação (energia de Fermi) para verificar que a energia de Fermi do cobre é 7,0 eV. (Observe que a densidade de portadores de carga do cobre é 8,43 x 10²⁸ m^-3).

3. Qual é a probabilidade que um estado 0,062 eV acima da energia de Fermi esteja ocupado para (a) T = 0 K e (b) T = 320 K?

Resposta: (a) zero; (b) 0,0956

4. A energia de Fermi do cobre é 7,0 eV. Para o cobre, a 1.000 K, (a) determine a energia para o qual a probabilidade de ocupação é 0,90. Para essa energia calcule (b) a densidade de estados e (c) a densidade de estados ocupados.

Resposta: (a) 6,81 eV; (b) 1,77 x 10²⁸ m^-3 eV^-1; (c) 1,59 x 1010²⁸ m^-3 eV^-1.

5. A densidade do ouro é 19,3 g/cm³. Cada átomo contribui com um elétron de condução. Calcular a energia de Fermi do ouro.

Resposta: 5,53 eV.

6. A energia de Fermi do alumínio é 11,6 eV; sua densidade é 2,70 g/cm³ e a sua massa molar é 27,0 g/mol. Com esses dados, determine o número de elétrons livres por átomo.

Resposta: 3.

7. Mostrar que as probabilidades de ocupação de dois estados cujas energias estão igualmente afastadas, acima e abaixo da energia de Fermi, se somam dando a unidade.

8. Mostre que a probabilidade P_b de existir um buraco num estado de energia E é dada por

(função probabilidade)

(Sugestão: a existência de um buraco significa que o estado não está ocupado. Convença-se de que isso implica que P_b = 1 – P).

9. O zinco é um metal bivalente. Calcule (a) o número de elétrons de condução por metro cúbico, (b) a energia de Fermi E_F, (c) a velocidade de Fermi n_F e (d) o comprimento de onda de de Broglie correspondente a esta velocidade. Veja nos Apêndices D ou F os dados sobre o zinco que forem necessários.

Resposta: (a) 1,31 x 10²⁹ m^-3; (b) 9,42 eV; (c) 1,82 x 10⁶ m/s; (d) 0,40 nm.

10. A prata é metal monovalente. Calcule (a) o número de elétrons de condução por metro cúbico, (b) a energia de Fermi E_F, (c) a velocidade de Fermi n_F e (d) o comprimento de onda de de Broglie correspondente a esta velocidade. Veja nos Apêndices D ou F os dados que forem necessários.

Resposta: (a) 5,86 x 10²⁸ m^-3; (b) 5,52 eV; (c) 1340 km/s; (d) 0,522 nm.

11. Uma estrela de nêutrons pode ser analisada mediante técnicas semelhantes àquelas usadas para os metais ordinários. Nesse caso os nêutrons (em vez de elétrons) obedecem à função probabilidade, (veja a equação do problema 9). Considere uma estrela de nêutrons com massa 2,0 vezes a massa do Sol e com um raio de 10 km. Calcule a energia de Fermi dos nêutrons.

Resposta: 137 MeV.

12. O silício puro, na temperatura ambiente, tem uma densidade de elétrons na banda de condução de, aproximadamente, 1 ´ 10¹⁶ m^-3 e uma densidade de buracos igual na banda de valência. Suponha que 1 em 10⁷ átomos de silício seja substituído por um átomo de fósforo. (a) qual será o tipo deste semicondutor dopado, n ou p? (b) que densidade de portadores de carga será adicionada pelo fósforo? (Veja nos Apêndices D ou F os dados necessários para o silício.) (c) qual é a razão entre a densidade dos portadores de carga para o silício dopado e para o silício puro?

Resposta: (a) tipo n; (b) 5 x 10²¹ m^-3; (c) 2,5 x 10⁵.

13. Num diodo de junção p-n ideal, com uma fronteira bem definida entre os dois materiais semicondutores, a corrente i está relacionada à diferença de potencial V através do diodo por

onde i_o, que depende dos materiais mas não da corrente ou da diferença de potencial, é chamada de corrente inversa de saturação. Se a junção estiver diretamente polarizada, V será positivo; se estiver inversamente polarizada, V será negativo. (a) Verifique se esta expressão prevê o comportamento esperado de um diodo esboçando i como função de V no intervalo -0,12 V < V < +0,12 V. Faça T = 300 K e i_o = 5,0 nA. (b) Para a mesma temperatura, calcule a razão entre a corrente numa polarização direta de 0,50 V e a corrente numa polarização inversa de 0,50 V.

Resposta: (b) 2,49 x 10⁸.

14. Num certo cristal, a mais alta banda de estados ocupada está completamente preenchida. O cristal é transparente a luz de comprimento de onda maior que 295 nm e opaco para comprimento de onda menor. Calcule, em elétron-volts, a lacuna entre a banda mais alta ocupada e a banda seguinte (vazia).

Resposta: 4,20 eV.

CAPÍTULOS 47 - 4^a ed. e 43 - 6^a ed.

15. Quando uma partícula a colide elasticamente com um núcleo, o núcleo recua. Suponhamos que uma partícula a de 5,00 MeV colida elástica e frontalmente com um núcleo de ouro, inicialmente em repouso. Qual é a energia cinética (a) de recuo do núcleo e (b) da partícula a rechaçada?

Resposta: (a) 0,39 MeV; (b) 4,61 MeV.

16. O raio de um certo núcleo, medido pelo método de espalhamento de elétrons, é de 3,6 fm. Qual é o provável número de massa do núcleo?

Resposta: 27.

17. A energia potencial eletrostática de uma esfera uniforme de carga Q e raio R é

(a) Determine a energia potencial eletrostática para o nuclídeo ²³⁹Pu, supostamente esférico. (b) Para este nuclídeo, compare a energia potencial eletrostática por núcleon, e também por próton, com a energia de ligação por núcleon que vale 7,56 MeV. (c) O que você conclui? Dados: Z = 94; r = 6,64 fm.

Resposta: (a) 1150 MeV; (b) 4,8 MeV/núcleon; 12 MeV.

18. Calcule e compare (a) a densidade de massa nuclear r_m e (b) a densidade de carga nuclear r_q, para o nuclídeo razoavelmente leve ⁵⁵Mn e para o nuclídeo razoavelmente pesado ²⁰⁹Bi. (c) As diferenças encontradas concordam com as que você esperava?

Resposta: (a) ⁵⁵Mn e ²⁰⁹Bi: 2,3 x 10¹⁷ kg/m³; (b)⁵⁵Mn: 1,0 x 10²⁵ C/m³ e ²⁰⁹Bi: 8,8 x 10²⁴ C/m³.

19. O tempo nuclear característico é uma grandeza útil, porém imprecisamente definida como sendo o tempo necessário para um núcleon com alguns MeV de energia cinética percorrer uma distância igual ao diâmetro de um nuclídeo de massa intermediária. Qual é a ordem de grandeza desse tempo? Considere nêutrons de 5 MeV atravessando um diâmetro nuclear do ¹⁹⁷Au. Dado: r = 6,23 fm.

Resposta: 4 x 10^-22 s.

20. Devido ao fato de que um núcleon está confinado a um núcleo, podemos considerar a incerteza em sua posição como sendo aproximadamente o raio nuclear R. O que diz o princípio da incerteza sobre a energia cinética de um núcleon em um núcleo com, digamos, A = 100? (Sugestão: Considere a incerteza no momento linear Dp como sendo o próprio momento linear p)

Resposta: (a) 30 MeV.

21. Na tabela periódica a casa do magnésio é:

São três os seus isótopos: ²⁴Mg, massa atômica = 23,98504 u.

²⁵Mg, massa atômica = 24,98584 u.

²⁶Mg, massa atômica = 25,98259 u.

A abundância do ²⁴Mg é 78,99% por peso. Calcule as abundâncias dos outros dois isótopos.

Resposta: 9,30% para ²⁵Mg e 11,71% para ²⁶Mg.

22. Uma moeda de cobre tem a massa de 3,0 g. Calcule a energia nuclear necessária para separar todos os nêutrons e prótons dessa moeda. Ignore a energia e ligação dos elétrons e suponha, para simplificar, que a moeda seja constituída inteiramente por átomos de ⁶³Cu (de massa atômica 62,92960 u). A massa do próton é 1,00783 u e a do nêutron 1,00867 u.

Resposta: 1,6 x 10²⁵ MeV.

23. Mostre que a energia de ligação total de um nuclídeo pode ser escrita como

E = ZD_H + ND_n - D,

Onde D_H, D_n e D,são os excessos de massa apropriados. Usando este método, calcule a energia de ligação por núcleon para o ¹⁹⁷Au. Compare o resultado obtido com o valor listado na Tabela 47-1 ou 43-1. Os excessos de massa necessários, arredondados a três algarismos significativos, são D_H, = + 7,29 MeV, D_n = + 8,07 MeV e D₁₉₇ = - 31,2 MeV. Observe a economia de cálculo que resulta quando se usam os excessos de massa no lugar das massas reais.

24. A meia vida de um isótopo radioativo é de 140 dias. Quantos dias seriam necessários para que a taxa de decaimento de uma amostra desse isótopo caísse a um quarto de seu valor inicial?

Resposta: 280 dias.

25. Um nuclídeo radioativo tem a meia-vida de 30 anos. Que fração de uma amostra inicialmente pura desse nuclídeo permanecerá sem decair depois (a) de 60 anos e (b) de 90 anos?

Resposta: (a) 1/4; (b) 1/8.

26. Um isótopo radioativo de mercúrio, ¹⁹⁷Hg, decai em ouro, ¹⁹⁷Au, com uma constante de decaimento de 0,0108 h^-1. (a) Calcule sua meia-vida. Que fração da quantidade inicial estará presente (b) depois de três meias-vidas e (c) depois de 10,0 dias?

Resposta: (a) 64,2 h; (b) 0,125; (c) 0,0749.

27. As células cancerosas são mais sensíveis aos raios X e aos raios gama do que as células sadias. Embora nos dias de hoje seja crescente a utilização de aceleradores lineares, a fonte padrão na terapia por irradiação tem sido o ⁶⁰Co, que decai por emissão de betas para um estado excitado do ⁶⁰Ni, que imediatamente cai para o estado fundamental, emitindo dois fótons de raios gama, cada um com energia de aproximadamente 1,2 MeV. A meia-vida do decaimento beta, controlador do processo é de 5,27 anos. Quantos núcleos radioativos ⁶⁰Co estão presentes em uma fonte de 6.000 Ci usada num hospital?

Resposta: 5,3 x 10²².

28. Um dos perigos da precipitação radioativa proveniente de uma bomba nuclear é o ⁹⁰Sr, que sofre decaimento beta com uma meia-vida de 29 anos.Por ter propriedades químicas semelhantes às do cálcio, o estrôncio, ingerido por uma vaca, concentra-se no leite e termina nos ossos de quem beber este leite. Os elétrons de alta energia do decaimento danificam a medula óssea impedindo, assim, a produção de glóbulos vermelhos. Uma bomba de 1 megaton produz aproximadamente 400g de ⁹⁰Sr. Se a precipitação radioativa se espalhasse uniformemente sobre uma área de 2.000 km², que área receberia uma radioatividade igual à carga máxima suportada pelos ossos de uma pessoa, que é igual a 74.000 desintegrações/s?

Resposta: 730 cm².

29. Em geral, os nuclídeos mais pesados tendem a ser instáveis ao decaimento alfa. Por exemplo, o isótopo mais estável do urânio, ²³⁸U, sofre decaimento alfa com uma meia-vida de 4,5 ´ 10⁹anos. O isótopo mais estável do plutônio é o ²⁴⁴Pu, com uma meia-vida de 8,2 ´ 10⁷ anos, e para o cúrio, temos ²⁴⁸Cm e 3,4 ´ 10 ⁵ anos. Quando a metade de uma amostra original de ²³⁸U tiver decaído, que frações dos isótopos originais do plutônio e do cúrio restarão?

Resposta: Pu:1,2 x 10^-17 e Cm: zero.

30. Um certo nuclídeo estável, após absorver um nêutron, emite um elétron e a seguir se divide espontaneamente em duas partículas alfa. Identifique o nuclídeo.

Resposta:.

31. O ¹³⁷Cs está presente na precipitação radioativa de explosões de bombas nucleares na atmosfera. Como sofre decaimento beta com uma meia-vida relativamente pequena de 30,2 anos, resultando no ¹³⁷Ba e liberando considerável energia no processo, ele é de interesse ambiental. As massas atômicas de Cs e do Ba são, respectivamente 136,9073 u e 136,9058 u. Calcule a energia total liberada no decaimento.

Resposta: 1,21 MeV.

32. O radionuclídeo ¹¹C decai de acordo com

¹¹C ® ¹¹B + e⁺ + n, t = 20,3 min

A energia máxima do espectro do pósitron é de 0,960 MeV. (a) Mostre que a energia de desintegração Q para este processo é dada por

onde m_C e m_B são, respectivamente, as massas atômicas do ¹¹C e ¹¹B, e m_e é a massa de um pósitron e também de um elétron. (b) Sabendo que m_C = 11,011434 u, m_B = 11,009305 u e m_e = 0,0005486 u, calcule Q e compare com a energia máxima do espectro do pósitron, dada anteriormente. (Sugestão: faça m_C e m_B as massas nucleares correspondentes. Observe que o decaimento por pósitron constitui uma exceção à regra geral que diz: se as massas atômicas forem usadas em processos nucleares de decaimento, a massa do elétron emitido será automaticamente levada em conta.)

Resposta: 0,960 MeV.

33. Em uma amostra de 5,00 g de carvão proveniente de uma mina antiga, a atividade do ¹⁴C é de 63,0 desintegrações/min. Em uma árvore viva, a atividade do ¹⁴C é de 15,3 desintegrações/min para 1,00 g de amostra. A meia-vida do ¹⁴C é de 5.730 anos. Qual é a idade da amostra de carvão?

Resposta: 1600 anos.

34. Uma rocha, extraída das profundezas da Terra, contém 0,86 g de ²³⁸U, 0,15 mg de ²⁰⁶Pb e 1,6 mg de ⁴⁰Ar. Que quantidade de ⁴⁰K deverá ela conter? As meias-vidas necessárias estão na tabela abaixo:

Nuclídeo Pai	Modo de Decaimento	Meia-vida (anos)	Nuclídeo Final Estável
^238U	a	4,47 x 10^9	^206Pb
^232Th	a	1,41 x 10^10	^208Pb
^40K	b	1,25 x 10^9	^40Ar

Resposta: 1,7 mg.

CAPÍTULOS 48 - 4^a ed. e 44 - 6^a ed.

35. (a) Quantos átomos estão em 1,0 kg de ²³⁵U puro? (b) Qual a energia, em joules, desprendida pela fissão completa de 1,0 kg de ²³⁵U? Admita Q = 200 MeV. (c) Durante quanto tempo essa energia manteria acesa uma lâmpada de 100 W?

Resposta: (a) 2,6 x 10²⁴; (b) 8,2 x 10¹³ J; (c) 2,6 x 10⁴ anos.

36. As propriedades do isótopo d plutônio ²³⁹Pu são muito semelhantes às do ²³⁵U. A energia média desprendida por fissão é 180 MeV. Quanta energia será desprendida, em MeV, se todos os átomos em 1,00 kg de ²³⁹Pu puro sofrerem fissão?

Resposta: 4,54 x 10²⁶ MeV.

37. A que taxa o ²³⁵U deve sofrer fissão por nêutrons a fim de gerar energia à taxa de 1,0 W? Admita Q = 200 MeV.

Resposta: 3,1 x 10¹⁰ fissões/s.

38. Consideremos a fissão do ²³⁸U por nêutrons rápidos. Num evento de fissão não houve emissão de nêutrons e os produtos terminais estáveis, depois do decaimento beta dos fragmentos primários da fissão, são o ¹⁴⁰Ce e o ⁹⁹Ru. (a) Quantas desintegrações beta ocorreram em conjunto, nas duas cadeias de decaimento beta? (b) Calcule a energia de desintegração Q. As massas atômicas relevantes são:

	Massa atômica (u)	Z		Massa atômica (u)	Z
^238U	238,05079	92	^140Ce	139,90543	58
n	1,00867	---	^99Ru	98,90594	44
e	0,0005486	---

Resposta: (a) 10; (b) 226 MeV.

39. Muitas pessoas temem que a ajuda prestada a muitos países para o desenvolvimento das usinas nucleares aumente a possibilidade de uma guerra nuclear. Isto porque os reatores não só geram energia elétrica, mas também, como subproduto formado pela captura de nêutrons pelo ²³⁸U, que é barato, produzem o ²³⁹Pu, que é o “combustível” de uma bomba nuclear. Como se forma este isótopo do plutônio mediante uma cadeia simples de reações envolvendo captura de nêutron e decaimento beta?

40. Verifique que a fusão de 1,0 kg de deutério, de acordo com a reação:

²H + ²H ® ³He + n, Q = + 3,27 MeV,

poderia manter acesa durante 2,5 ´ 10⁴ anos uma lâmpada de 100W.

41. Depois de converter todo o seu hidrogênio em hélio, uma certa estrela é constituída por 100% de hélio. Daí em diante, principia a conversão de hélio em carbono, pelo processo das três alfas:

⁴He + ⁴He + ⁴He ® ¹²C + 7,27 MeV

A massa da estrela é 4,6 ´ 10 ³²kg, e a taxa de geração de energia é 5,3 ´ 10³⁰ W. Em quanto tempo todo hélio se converterá em carbono?

Resposta: 1,6 x 10⁸ anos.

42. A Figura abaixo mostra um esquema idealizado de uma bomba de hidrogênio. O combustível da fusão é o deutério, ²H. A elevada temperatura e a alta densidade de partículas, que são necessárias à fusão, são proporcionadas por uma bomba atômica “detonadora”, geometricamente disposta de modo a imprimir uma onda de choque implosiva e compressiva sobre o deutério. A reação de fusão operativa é

5 ²H ® ³He + ⁴He + ¹H + 2n.

(a) Calcule a energia Q da reação de fusão. (b) Calcule o poder nominal da parte de fusão dessa bomba, sabendo que ela contém 500 kg de deutério, dos quais 30,0% sofrem fusão. O poder nominal da bomba é dado pela magnitude da energia desprendida expressa em termos da massa de TNT que, explodindo desprenderia a mesma quantidade de energia. Um megaton de TNT (10⁶ ton) libera 2,6 x 10²⁸ MeV de energia. Dados:

^1H	1,007825 u	^3He	3,016029 u	e	0,0005486 u
^2H	2,014102 u	^4He	4,002603 u

Resposta: (a) 24,9 MeV; (b) 8,65 Mton de TNT.

43. A água comum contém, em números redondos, 0,0150% em massa de “água pesada”, que tem um dos dois hidrogênios substituído por deutério ²H. Qual a potência média de fusão que se obteria se todo o deutério ²H de um litro de água fosse “queimado” em um dia, mediante a reação ²H + ²H ® ³He + n?

Resposta: 14,4 kW.