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Fundamentos do Modelo Atômico de Bohr


© 2002 Prof. C.A. dos Santos
Texto revisado em 02/04/2002



Antecedentes Históricos

Detalhes sobre os antecedentes históricos do modelo de Bohr podem obtidos em Modelo de Bohr: Fatos Históricos. Aqui faremos apenas as referências históricas absolutamente essenciais. Bohr desenvolveu seu modelo a partir dos estudos de Rutherford, segundo os quais o átomo seria constituído de um núcleo muito pequeno, em volta do qual gravitam os elétrons. É um modelo semelhante ao sistema planetário. Assim, o sol seria o núcleo, e os planetas seriam os elétrons.

Assim posto, esse modelo viola a teoria eletromagnética clássica, uma vez que partículas carregadas aceleradas emitem radiação eletromagnética. Ora, um elétron girando em torno de um núcleo está submetido a uma força centrípeta (dada pela interação coulombiana). Com o passar do tempo ela vai diminiuir seu raio de giro, em função da perda de energia, e chocar-se com o núcleo.

Outros fatos históricos importantes, mas que aparentemente não eram do conhecimento de Bohr, eram as famosas séries espectrais, obtidas com diversos materiais. Fraunhofer as obteve analisando a parte visível da luz solar, mas as mais interessantes, no contexto do modelo de Bohr, são as séries obtidas com o hidrogênio. As mais importantes são as seguintes:

  • Lyman: 1/l = R[(1/12)-(1/n2)], n=2,3,4,... [MB1]
  • Balmer: 1/l = R[(1/22)-(1/n2)], n=3,4,5,... [MB2]
  • Paschen: 1/l = R[(1/32)-(1/n2)]
  • , n=4,5,6,... [MB3]

  • Brackett: 1/l = R[(1/42)-(1/n2)]
  • , n=5,6,7,... [MB4]

  • Pfund: 1/l = R[(1/52)-(1/n2)]
  • , n=6,7,8,... [MB5]

    séries espectrais (UTK)

    Dessas, a única que se encontra na parte visível do espectro do hidrogênio é a de Balmer. As séries de Paschen, Brackett e Pfund, encontram-se no infravermelho, enquanto a série de Lyman representa a região ultravioleta do espectro do hidrogênio.

    Nas relações acima, R=1.097x107 m-1, é a constante de Rydberg.

    Tratamento Clássico do Átomo de Bohr

    A fig. 1 apresenta uma ilustração muito simplificada do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. modelo de Bohr Tem-se um elétron (carga -e) numa órbita com raio r em torno de um núcleo com carga +e. A força centrípeta sobre o elétron é dada por

    Fc = mv2/r. [MB6]

    Esta força vem da interação coulombiana entre o núcleo e o elétron, isto é,

    mv2/r = e2/4pe0r2. [MB7]

    Assim, a velocidade do elétron é uma função do raio, dada por

    v = e/(4pe0mr)1/2. [MB8]

    A energia total do elétron (E) é dada pela soma da energia cinética (mv2/2) e da energia potencial eletrostática (-e2/4pe0r)

    É fácil mostrar que

    E = -e2/8pe0r. [MB9]

    Considerando que são necessários 13.6 ev para separar o elétron do próton no átomo de hidrogênio, tem-se que -13.6 ev é a energia de ligação do elétron neste átomo. Mostre que o raio da órbita do elétron, no átomo de hidrogênio, é aproximadamente 5.3 x 10-11 m.

    Os Postulados de Bohr

    Para evitar a contradição do modelo atômico com a teoria clássica do eletromagnetismo, Bohr elaborou os seguintes postulados:

  • O elétron pode se mover em determinadas órbitas sem irradiar. Essas órbitas estáveis são denominadas estados estacionários.
  • As órbitas estacionárias são aquelas nas quais o momento angular do elétron em torno do núcleo é igual a um múltiplo inteiro de h/2p. Isto é,
    mvr = nh/2p [MB10]
  • O elétron irradia quando salta de um estado estacionário para outro mais interno, sendo a energia irradiada dada por
    E = hf = Ei-Ef, [MB11]
    onde h é a constante de Planck (6.63 x 10-34 J.s = 4.14 x 10-15 ev.s), f é a freqüência da radiação emitida, Ei e Ef são energias dos estados inicial e final.
  • Usando-se as eqs. [MB9]-[MB11], é fácil mostrar que a freqüência da radiação emitida, quando o elétron salta de uma órbita para outra mais interna, é dada por

    f = (me4/8e02h3) [(1/nf2)-(1/ni2)] [MB12]

    Tendo em conta que l = c/f, obtém-se

    1/l = (me4/8 e02ch3) [(1/nf2)-(1/ni2)] [MB13]

    Portanto, a partir do modelo de Bohr obtém-se uma expressão para 1/l bastante semelhante àquelas obtidas empiricamente (eqs. [MB1-MB5]). Da eq. [MB13] pode-se mostrar que a constante de Rydberg é dada por

    R = me4/8e02ch3
    [MB14]

    modelo de Bohr

    Agora, baseados no modelo de Bohr podemos entender como são gerados os raios X característicos. Quando o elétron proveniente do catodo incide no anodo, ele pode expulsar um elétron orbital. A órbita de onde o elétron será expulso, depende da energia do elétron incidente e dos níveis de energia do átomo do anodo, como ilustra a Fig. 3. A lacuna deixada por este elétron será preenchida por um elétron mais externo. Neste processo, a radiação X será emitida, com freqüência dada pela eq. [MB12].

    Modelo de Bohr: Fatos Históricos Bibliografia

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