Capitulo 4 - Modelo de Bohr
Os Postulados de Bohr
Para evitar a contradição do modelo atômico com a teoria clássica do eletromagnetismo,
Bohr elaborou os seguintes postulados:
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O elétron pode se mover em determinadas órbitas sem irradiar. Essas órbitas
estáveis são denominadas estados estacionários.
As órbitas estacionárias são aquelas nas quais o momento angular do elétron em
torno do núcleo é igual a um múltiplo inteiro de h/2p.
Isto é,
mvr = nh/2p (4.10)
O elétron irradia quando salta de um estado estacionário para outro mais interno,
sendo a energia irradiada dada por
E = hf = Ei-Ef, (4.11)
onde h é a constante de Planck (6.63 x 10-34 J.s = 4.14 x 10-15 ev.s),
f é a freqüência da radiação emitida, Ei e Ef são energias dos
estados inicial e final.
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Usando-se as eqs. (4.9)-(4.11), é fácil mostrar que a energia em cada estado estacionário, ou nível n, é dada por
En=-13,6/n2, (4.12)
onde E é dada em eletronvolt, eV. O raio da órbita é dado por
rn=rBn2, (4.13)
onde rB é o raio de Bohr, cujo valor é dado pela eq. (4.9). Ele corresponde à órbita
com n=1. Esse nível
é conhecido como estado fundamental do átomo de hidrogênio. É o estado que corresponde à menor energia, isto é,
-13,6 eV. Para qualquer átomo, o estado correspondente à menor energia é o estado fundamental. Vamos discutir um pouco
mais essa questão, para o caso específico do átomo de hidrogênio. Para átomos com mais de um elétron a discusão é bem
mais complicada, e está fora do escopo do presente material.
A figura 4.2 ilustra o modelo.
Figura 4.2
As órbitas com raios R1 e R2 representam dois estados
estacionários. O elétron pode permanecer em cada um deles sem irradiar. No entanto,
ele só permanece em raios superiores ao raio de Bohr, por um curto intervalo de tempo, da ordem 10-8 segundos.
Depois desse tempo de permanência, ele retorna sucessivamente para órbitas mais internas, até parar no estado
fundamental. Neste retorno o átomo emite fótons, cujas
freqüências podem ser calculadas a partir da relação E=hf. Isto é,
f = (me4/8e02h3)
[(1/nf2)-(1/ni2)]
(4.14)
Se não houver uma ação externa, como um fóton, ou outra partícula incidente, o elétron permanecerá
indefinidamente no estado fundamental. Agora, se um fóton com energia E2-E1 interagir com
um átomo de hidrogênio no estado fundamental, o elétron saltará para o estado com n=2. É assim que
tem início
o processo que dá origem às séries espectroscópicas.
A partir da eq. (4.14), e tendo em conta que l = c/f, obtém-se
1/l = (me4/8
e02ch3)
[(1/nf2)-(1/ni2)]
(4.15)
A eq. (4.15) tem a mesma forma das eqs. (4.1)-(4.5). Isto é, as séries espectrais são exatamente transições entre níveis estacionários do átomo de hidrogênio. As linhas da série de Lyman são transições dos níveis com n maior ou igual a 2 para o nível 1. Transições dos níveis com
n maior ou igual a 3 para o nível 2 fornecem a série de Balmer. A série de Paschen resulta de transições para o nível 3, a de Brackett para o nível 4, e a de Pfund para o nível 5.
Com a simulação abaixo podemos reproduzir essas séries espectroscópicas. Temos inicialmente um átomo de hidrogênio com oito níveis estacionários, cada um representado pela órbita correspondente.
O ponto verde representa o núcleo (próton), e o vermelho representa o elétron. A série é definida pelo nível final da transição. Os botões à direita permitem esta definição. Por exemplo, se quisermos observar a série de Lyman, deveremos clicar no botão 1. Para produzir a primeira linha desta série, deveremos clicar na segunda órbita.
Observe que aparece uma seta amarela conectando a segunda e a primeira órbita. Na escala horizontal aparece uma linha branca, indicando o comprimento de onda da radiação emitida, igual a 121,5 nm. Na escala vertical, representando os níveis de energia, aparece uma seta branca, indicando uma transição associada a um fóton de 10,2 eV.
Os traços brancos na escala horizontal representam as linhas espectrais do hidrogênio, na faixa entre 0 e 2000 nm. Lembre-se que a faixa visível fica entre 400 e 650 nm. Escolha uma transição qualquer. Por exemplo, do nível 4 para o 2. Observe que uma linha verde aparece na escala horizontal, e que uma seta verde aparece na escala vertical. Mostre que a radiação emitida cai na faixa da luz verde.
Reproduza algumas linhas espectrais e compare os valores exibidos pelo programa com aqueles calculados através das eqs. 4.12 e 4.15.
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