O que é a lei de Bragg e por que ela é importante?
A Lei de Bragg refere-se a equação:
nl = 2d sinq (1)
que foi derivada pelos físicos ingleses Sir W.H. Bragg e seu filho
Sir W.L. Bragg, em 1913, para explicar porque as faces clivadas de cristais
refletem feixes de raios-X a certos ângulos de incidência (teta, q).
A variável d é a distância entre camadas atômicas em um cristal,
e a variável lambda l
é o comprimento de onda do feixe de raios-X incidente (ver o applet); n é
um inteiro.
Esta observação é um exemplo de interferência de ondas de raios-X,
conhecido como difração de raios-X (XRD),
e é uma evidência direta da estrutura periódica de cristais, que fora postulada
por vários séculos. Os Bragg receberam o Prêmio Nobel de Física em 1915
por seu trabalho na determinação das estruturas cristalinas do
NaCl, do ZnS e do diamante. Embora a Lei de Bragg foi usada para explicar o
padrão de interferência de raios-X espalhados por cristais, o fenômeno de
difração tem sido desenvolvido para estudar a estrutura de todos os estados
da matéria com diversos feixes, por exemplo, íons, elétrons, nêutrons e prótons,
com um comprimento de onda da mesma ordem de grandeza da distância entre as
estruturas atômicas ou moleculares de interesse.
Como usar este Applet
O applet mostra os raios incidentes sobre duas camadas atômicas
de um cristal, p. ex., átomos, íons ou moléculas, separadas pela distância
d. As camadas se parecem com linhas porque elas são projetadas sobre
duas dimensões e a nossa visão é paralela às camadas. O applet começa
com os raios espalhados em fase, ou seja, interferindo construtivamente.
A Lei de Bragg é satisfeita e está ocorrendo difração. O medidor indica
o quão bem as fases dos dois raios "se casam". A pequena luz no medidor:
é verde, quando a equação de Bragg é satisfeita, e vermelha,
quando ela não é satisfeita.
O medidor pode ser observado enquanto as três variáveis na equação de
Bragg são alteradas, "clicando" nas flechas da barra de controle e digitando
os valores nas caixas correspondentes. As variáveis d e q
podem ser alteradas mantendo os botões pressionados tanto nas camadas da estrutura,
quanto no feixe espalhado, respectivamente.
Derivação da Lei de Bragg
A lei de Bragg pode facilmente ser derivada considerando as condições
necessárias para fazer as fases dos feixes coincidirem, quando o ângulo
de incidência iguala o ângulo de reflexão. Os raios do feixe incidente estão
sempre em fase e paralelos até o ponto no qual o feixe superior "bate" na
camada no átomo z (Fig. 1). O segundo feixe continua até a seguinte camada
layer onde ele é espalhado pelo átomo B. O segundo feixe deve viajar a distância
extra AB + BC se os dois feixes devem continuar viajando adjacentes e paralelos.
Esta distância extra deve ser um múltiplo inteiro (n) do comprimento de onda
(l)para que as fases dos dois feixes sejam as mesmas:
nl = AB +BC (2).
Fig. 1 Derivação da Lei de Bragg usando a geometria da reflexão e
aplicando-se trigonometria. O feixe inferior deve viajar a distância extra
(AB + BC) para continuar viajando paralelo e adjacente ao feixe superior.
Reconhecendo-se d como a hipotenusa do triângulo retângulo
Abz, nós podemos usar trigonometria para relacionar d and q
à distância (AB + BC). A distância AB é oposta q
assim,
AB = d sinq (3).
Como AB = BC, equação (2) torna-se,
nl = 2AB (4)
Substituindo-se equação (3) na equação (4) temos,
nl = 2 d sinq, (1)
e a Lei de Bragg tem sido derivada. A localização da superfície
não altera a derivação da Lei de Bragg.
Padrões de difrações experimentais
As seguintes figuras mostram padrões de difrações de raios-X
experimentais do SiC cúbico usando radiação de syncroton.
Descoberta de difração de raios-X
Friedrich e Knipping foram os primeiros a observar Roentgenstrahlinterferenzen
em 1912, após uma dica de seu orientador de pesquisa, Max von Laue, na
Universidade de Munique. A Lei de Bragg simplificou bastante a descrição
de von Laue da interferência de raios-X. Os Bragg usaram cristais na
geometria da reflexão para analisar a intensidade e os comprimentos de onda
de raios-X (espectros) gerados por diferentes materiais. O equipamento utilizado
para caracterizar espectros de raios-X foi o espectrômetro de Bragg.
Laue sabia que raios-X tinham comprimentos de onda da ordem de
1 Å. Após aprender que em suas teorias ópticas Paul Ewald havia
aproximado a distância entre átomos em um cristal pelo mesmo comprimento,
Laue postulou que raios-X se difratariam, por analogia à difração de luz
por pequenas ranhuras periódicas desenhadas em uma superfície sólida (uma grade
de difração óptica). Em 1918, Ewald desenvolveu uma teoria, numa forma similar
a esta teoria óptica, explicando quantitativamente as interações físicas
fundamentais associadas com XRD. Os elementos da teoria de Ewald continuaa ser
útil para muitas aplicações em Física.
Será que temos diamantes?
Se usamos raios-X com um comprimento de onda (l) of 1.54Å, e nós temos diamantes no material que estamos testando, nós encontraremos picos em nosso padrão de raios-X em valores de q que correspondem a cada um dos espaçamentos d que caracterizam o diamante. Estes espaçamentos d são 1.075Å, 1.261Å, e 2.06Å. Para descobrir onde devemos esperar picos se diamante estiver presente, tu podes colocar l em 1.54Å no applet, colocar a distância em um dos espaçamentos d. Então, começa (start) com q em 6 graus, e varia até que tu encontras uma condição de Bragg. Faça o mesmo com cada um dos remanescentes espaçamentos d. Lembra que no applet, tu estás variando q, enquanto no padrão de raios-X impresso, os ângulos são dados como 2q. Conseqüentemente, quando o applet indica uma condição de Bragg em um particular ângulo, tu deves multiplicar o ângulo por 2 para localizar o ângulo no padrão de raios-X impresso onde tu esperarias um pico.