Sabemos que ao passar pelo plano meridiano de um observador, uma estrela culmina, ou seja, atinge um valor extremo de altura (h). Na culminação superior a estrela cruza o semi-círculo meridiano superior do local (semi-círculo superior é o que contém o zênite). Neste instante sua altura é máxima, sendo esta uma situação favorável à sua observação.
Outra particularidade interessante da passagem meridiana é que temos nesta situação relações bem simples envolvendo a distância zenital z da estrela (que será mínima, zmin), sua declinação δ e a latitude astronômica do local, φ. Consideremos, por exemplo, a figura abaixo, na qual mostramos o plano meridiano de um observador a uma latitude φ < 0°. O pólo elevado para este observador é, portanto, o pólo celeste sul (PS). Sua altura com relação ao horizonte é em módulo igual à latitude do observador. O pólo celeste é obviamente perpendicular ao equador celeste, que cruza o plano meridiano no ponto EC. A declinação δ da estrela é indicada na figura, assim como sua distância zenital zmin. É fácil provar que:
δ = φ - zmin, eq. (1)
A fórmula acima resulta de simplesmente notarmos que o ângulo entre EC e Z é também igual a -φ. Logo -δ = -φ + z no figura. Seja agora a situação indicada na figura abaixo. Agora a estrela culmina a norte do zênite. Neste caso, podemos escrever:
-φ = -δ + zmin --->> δ = φ + zmin, eq. (2)
Em ambos os casos, se determinarmos zmin com medidas de teodolito e conhecermos a declinação, podemos determinar nossa latitude. Note, contudo, que a determinação da distância zenital a partir de medidas de leitura vertical LV obtidas com um teodolito exige duas correções: a correção para o erro zenital do teodolito (z0) e a correção para refração (R).
zver = zmin = LV - z0 + Rm * F, (3)
onde z0 é obtido fazendo-se leituras verticais de uma mira fixa com o teodolito em posição direta e invertida, enquanto que a correção média para refração (Rm) depende do valor de LV, sendo F um fator adicional de correção para as condições atmosféricas. Tanto Rm quanto F são listados em tabelas com correções para refração dadas pelo Anuário do ON. Ambas estas correções, assim como fórmulas alternativas de correção para refração, foram descritas em mais detalhes nas seções sobre teodolitos e sobre a prática envolvendo a culminação de uma única estrela.
Mas podemos combinar as equações (1) e (2) acima, usando duas estrelas: uma culminando a sul do zênite, a uma distância zenital mínima zs e de declina ção δs = φ - zs; a outra culminando a norte do zênite a uma distância zenital zn e de declinação δn = φ + zn.
Somando as duas equações teremos então:
2φ = δs + δn + zs - zn ==>> φ = (δs + δn) / 2 + (zs - zn) / 2
Se agora exprimirmos as distâncias zenitais usando a expressão (3) acima, teremos:
φ = (δs + δn) / 2 + (LV,s - z0 + (Rm * F)s - LV,n + z0 - (Rm * F)n) / 2
φ = (δs + δn) / 2 + (LV,s - LV,n) / 2 + [(Rm * F)s - (Rm * F)n] / 2
Este método de usar duas estrelas que culminam em lados opostos do zênite é conhecido como método de Sterneck (ou método de Horrebow simplificado). A vantagem do método está no fato de que os erros zenitais (instrumentais) nas medidas de zs e zn são automaticamente cancelados ao tomarmos a diferença zs - zn acima. Se escolhermos estrelas que culminem a distâncias zenitais aproximadamente iguais, a diferença zs - zn também removerá praticamente todo o efeito devido à refração atmosférica. Ou seja, o último termo do lado direito da expressão acima será ~ 0. Em outras palavras, ao pagarmos o preço de observar a culminação de duas estrelas ao invés de uma, ganhamos pela eliminação total da incerteza associada ao erro zenital z0 e parcial do efeito da refração (e suas incertezas associadas).
Antes da noite de observação, já temos que ter definido(s) o par(es) de Sterneck a ser(em) usado(s). Além de culminarem em lados opostos do zênite, as estrelas do par devem idealmente satisfazer às seguintes condições:
1) Suas distâncias zenitais na culminação devem ser relativamente pequenas (zs =< 45°e zn =< 45°) de modo a minimzar correções para refração.
2) A diferença de distância zenital mínima deve ser da ordem de uns 5° ou menos (|zs - zn | =< 5°), para garantir que as correções para refração se cancelem ao máximo.
3) O intervalo entre as duas culminações não deve exceder uns 30m (ou seja, |αs-αn| =< 30m), de forma a que a atmosfera não mude muito entre uma observação e outra, novamente como forma de evitar termos de refração que não se cancelem.
4) Na noite de observação, após a montagem e nivelamento do teodolito, efetuam-se as leituras verticais (LV) e horizontais (LH) das estrelas do par de Sterneck, em intervalo de tempo que compreenda o instante da passagem meridiana. As tabelas abaixo são um exemplo dos dados coletados.
Exemplo de tabelas obtidas para determinação de latitude pelo método de Sterneck
Os pontos obtidos podem então ser graficados e ter a eles ajustada uma parábola, de forma semelhante à que foi feita em práticas anteriores. Resulta daí um valor de altura máxima (ou distância zenital mínima), correspondente à culminação, e que pode ser diretamente inserido na equação para a latitude φ dada acima. Havendo um diferença considerável entre os instantes das culminações das estrela do par, aconselha-se a correção dos valores medidos para refração. A figura abaixo mostra um gráfico de (90° - LV) x LH para uma das estrelas de um par usado.
Outras referências bibiliográficas: Determinações Astronômicas, F. Hatschbach; Geodésica Elementar e Astronomia de Campo, J. Haertel; Notas de Aula de J.M. Arana.