Variação de Coordenadas Equatoriais

Astrometria

Na seção anterior, tratamos de algumas perturbações na posição de um astro, tais como as devidas à precessão, à nutação e ao movimento do pólo. Estas perturbações se devem a variações na orientação do sistema de coordenadas equatoriais como um todo. Vimos que a maior parte destes efeitos pode ser explicada por modelos de perturbação gravitacional exercida sobre a Terra pelo Sol, pela Lua e pelos planetas do Sistema Solar. Em outras palavras, podemos descrever de forma matemática a mudança sistemática das coordenadas equatoriais de uma estrela qualquer devido à precessão, à nutação, etc.

Nesta seção veremos alguns outros efeitos que afetam a posição de um objeto no céu. São eles: aberração, paralaxe, refração e movimento próprio. Todos são conceitualmente simples e também podem ser quantificados por expressões matemáticas. Uma diferença importante com relação aos efeitos já discutidos é que as variações causadas na posição de um astro agora não resultam da mudança na orientação do sistema equatorial de coordenadas como um todo no espaço, mas sim de efeitos físicos associados aos próprios objetos ou à luz que eles emitem.

Estes efeitos são também, em geral, de menor amplitude do que os anteriores, em especial se comparados à precessão, tendo sido medidos e adequadamente descritos somente a partir do século XIX. Isso porque, como já dissemos, medidas astrométricas evoluíram muito nos últimos tempos, sendo este um assunto da Astrometria.

• Há um século atrás, praticava-se a Astronomia de Posição com um instrumento que só se movia ao longo do meridiano astronômico do local, o círculo meridiano.
• Satélites no espaço estão começando a fazer medidas com muito mais precisão do que as feitas em solo, sob a turbulenta atmosfera da Terra.

A figura abaixo mostra a evolução da precisão das medidas astrométricas ao longo da História. A linha do tempo flui da esquerda para a direita, desde a época do astrômomo grego Hiparco (século II A.C) até a época do satélite astrométrico Hipparcos (época atual). Na parte inferior da figura, vemos o menor ângulo que o homem era capaz de medir em cada época. Este ângulo, além de indicado explicitamente, é também representado pela máxima distância a que uma pessoa de estatura mediana (em torno de 1,7m) poderia estar de forma que tamanho angular pudesse ser medido com os instrumentos da época. Assim, na Grécia antiga medidas angulares se limitavam a 1° de precisão, o que corresponde à abertura angular subentendida por uma pessoa a 100m de distância do observador.

Em tempos mais recentes, já no século XX, tornou-se possível medir ângulos da ordem de 0.00003° = 0.1". Isso corresponde ao ângulo compeendido entre os pés e a cabeça de uma pessoa a 4000 km de distância. Não é de se estranhar que, com este brutal aumento na capacidade de se medir aberturas angulares no céu, determinados efeitos, antes no máximo previstos, mas nunca medidos, pudessem finalmente ser quantificados.

Aberração

A posição aparente de um objeto sofre um desvio cuja amplitude depende da amplitude de seu movimento com relação ao observador (ou seja, sua velocidade relativa ao mesmo). Este efeito está ligado ao fato de ser finita a velocidade de propagação da luz. A figura abaixo ilustra o efeito da aberração: um projétil incide sobre um alvo em movimento, atingindo seu lado mais próximo em C. Se o alvo estivesse em repouso, o projétil atingiria seu lado mais distante em A. Mas como o alvo está em movimento, o projétil incide sobre o ponto B. Do ponto de vista do alvo, a direção de onde parece vir o projétil será então a direção BC, ao invés da direção AC. O ângulo entre ambas, a, depende da razão entre as velocidades do alvo e do projétil, assim como da direção relativa entre estas duas velocidades, θ.

Na figura acima fizemos θ = 90° para simplificar a visualização do efeito. No caso geral, o desvio aparente a na direção do projétil visto do alvo será dado por:

a = V/c senθ

onde θ é o ângulo entre a direção do movimento do projétil e a direção do movimento do observador, c é a velocidade do projétil e v a velocidade do alvo.

Há dois tipos de aberração mais importantes no caso astronômico: a aberração diurna e a aberração anual. Em ambos os casos, o alvo é o observador e o projétil é a luz proveniente de um astro. Podemos dizer então que em ambos os casos estamos tratando do fenômeno de aberração da luz . No caso da aberração diurna, o efeito é devido ao movimento de rotação da Terra, tal como descrito na próxima figura. Nela vemos a Terra a partir da direção do pólo norte. À medida em que a Terra rotaciona, um observador qualquer na sua superfície se move no espaço, sua direção de movimento fazendo um ângulo variável com relação à direção de onde vem a luz do objeto. O valor de V neste caso é a velocidade do observador devido à rotação, que é máxima no equador (V = 0.4651 km/s), tendendo a V = 0 km/s para observadores próximos aos pólos. Já o valor da velocidade da luz é c = 300000 km/s. Pela fórmula acima, o efeito da aberração, ou seja, o ângulo entre a posição observada e a aparente do astro será a = 0.32" para um observador no equador terrestre e a = 0 para um observador nos pólos. Note que este é o valor máximo, obtido assumindo-se que a incidência da luz seja perpendicular à direção do movimento de rotação.

No caso da aberração anual, o deslocamento aparente na posição de uma estrela é devido ao movimento orbital da Terra em torno do Sol. A fórmula que nos dá o valor do deslocamento aparente é a mesma que antes. O que muda é o valor da velocidade V. A velocidade orbital da Terra varia ao longo do ano, pois a órbita é uma elipse. Um valor médio neste caso seria V = 30 km/s. Aplicando-se a expressão para o efeito da aberração, tem-se então a = 20.6". Nota-se, portanto, que a aberração anual é maior do que a aberração diurna por quase duas ordens de grandeza. Assim, a aberração anual é mais relevante, sendo imprescindível a correção da posição de uma estrela para este efeito, se estamos interssados em determinações astronômicas de precisão da ordem de 1". Note ainda que o efeito da aberração da luz, tanto diurna quanto anual, é periódico, repetindo-se em escalas de tempo de 1 dia e 1 ano, respectivamente.

Refração

A direção de propagação da luz sofre um desvio ao atravessar a atmosfera terrestre. Este efeito é cromático, ou seja, varia com o comprimento de onda da luz; ele é mais pronunciado para luz azul do que para luz vermelha. O efeito sempre faz com que a altura (h) observada de um objeto no céu seja maior do que ela realmente é. Um exemplo de refração ocorre com o Sol todos os dias. Quando o vemos se por no horizonte, ele na verdade já está fisicamente abaixo deste último. Mas sua imagem refratada pela atmosfera se projeta acima do horizonte. Em outras palavras, a refração neste caso é da ordem de 35', aproximadamente o diâmetro angular do Sol no céu, visto da Terra. A figura abaixo mostra o efeito da refração sofrida pela luz de um objeto ao incidir na atmosfera da Terra, fazendo com que sua distância zenital observada seja menor do que a verdadeira (ou aparente).

A próxima figura é semelhante à anterior, mas mostra a situação específica do Sol quando visto no horizonte de um observador. O observador se situa no ponto P sobre a superfície da Terra. Ele vê a imagem refratada do Sol no seu horizonte, na direção PO'. Mas, na verdade, o Sol já está fisicamente abaixo do horizonte de P, na direção dada pelo segmento OP, que faz um ângulo Rm (refração média) com PO'. Devido ao efeito da refração, os raios do Sol que se propagam ao longo da direção OP, ao encontrarem a atmosfera da Terra em P', desviam-se continuamente até atingir o observador em P.

Como já mencionado, o por do Sol visto por um observador ocorre quando o primeiro se encontra fisicamente 35' abaixo do horizonte segundo. O desvio na posição do objeto é, portanto, maior do que 0.5°. O valor do desvio causado pela refração depende da altura verdadeira do objeto, sendo uma função decrescente da mesma. Isso é mostrado na próxima figura, onde vemos o valor do desvio no eixo vertical e o valor da altura verdadeira no eixo horizontal

Valores médios de refração também podem ser encontrados nas efemérides:

Exemplo de tabela com valores de Rm

Note que além de variar com a freqüência da luz e com a altura, a refração também depende da densidade do ar (variando, portanto com a altitude do observador) e das condições atmosféricas, como a temperatura e a pressão. Em geral, a refração média é aquela esperada em condições padrão, em que estas variáveis termodinâmicas têm valores específicos. Fatores de correção a serem aplicados à refração Rm também são tabelados no Anuário Astronômico do ON:

Exemplo de tabela com correções de refração para diferentes valores de temperatura e pressão.

Matematicamente, a altura verdadeira de uma fonte (ou seja, corrigida para o efeito de refração) pode ser expressa como:

h_ver = h_obs - Rm F,

onde h_obs é a altura observada, Rm a refração média e F é o fator de correção para temperatura e pressão.

Em termos de distâncias zenitais, teremos:

z_ver = z_obs + Rm F,

Paralaxe e unidades de distância em Astronomia

Dentro do Sistema Solar, podemos usar o raio (ou o diâmetro) da Terra para medir paralaxes horizontais, tal como descrito pela figura acima: a distância a um planeta, por exemplo, pode ser medida observando-o de pontos diametralmente opostos da superfície da Terra e medindo-se o deslocamento angular do planeta com relação às estrelas ao fundo. À metade deste deslocamento angular, conforme indicado na figura, chamamos de paralaxe. O paralaxe é comumente representado pela letra p ou pela letra grega π. Quanto maior o valor de π, menor é a distância ao planeta.

Na verdade, há outros tipos de paralaxe, além do paralaxe geocêntrico ou horizontal definido acima. Podemos definir, por exemplo, o paralaxe heliocêntrico, que faz uso da visada de dois pontos opostos ao longo da órbita da Terra em torno do Sol. A figura abaixo mostra a situação, que é geometricamente muito semelhante à da figura anterior; o que muda é a linha de base usada para medir o ângulo paralático.

A distância média da Terra ao Sol é chamada de unidade astronômica (UA). Em termos de quilômetros temos: 1 UA = 1.5x10⁸km. Esta distância é muito maior do que o raio da Terra, o que faz com que, para um determinado objeto cuja distância se deseja medir, o paralaxe heliocêntrico seja sempre maior do que o geocêntrico. Em termos mais técnicos e com base nas definições já apresentadas, podemos dizer que fixada uma distância, p será tanto maior quanto maior for a linha de base usada para medí-lo. E, mantida a linha de base, o paralaxe decresce com a distância ao objeto.

Uma unidade de distância bem maior do que a unidade astronômica, o parsec (pc), é definida como a distância à qual um segmento de reta de 1 UA (o sistema Terra-Sol, por exemplo) cobre um ângulo de 1" no céu. Novamente podemos exprimir o parsec usando unidades mais mundanas: 1 pc = 3.086x10¹³ km. Note que a definição do parsec está intimamente ligada ao conceito de paralaxe heliocêntrico, pois 1 pc na verdade é a distância à qual está um objeto cujo paralaxe heliocêntrico é π = 1". O próprio nome parsec representa abreviação das palavras paralaxe e segundo. A partir do parsec pode-se definir unidades ainda maiores de distância, como o kiloparsec (1 kpc = 10³ pc) ou o megaparsec (1 Mpc = 10⁶ pc). Estas são também usadas em Astronomia, principalmente em Astronomia Galática e Extragalática. O ano-luz (AL), a distância percorrida pela luz em um ano, às vezes é usada, principalmente em divulgação astronômica. Mas raramente se vê distâncias expressas em anos-luz em trabalhos profissionais da área. 1 AL = 9.46x10¹² km ~1/3 parsec.

Na figura abaixo vemos representado o efeito de paralaxe heliocêntrico. Analogamente ao paralaxe horizontal, o paralaxe heliocêntrico é o deslocamento angular de uma estrela com relação às outras ao fundo, quando a posição desta é anotada de dois pontos da órbita da Terra diametralmente opostos.

Representando novamente o paralaxe heliocêntrico por π, vemos que existe uma expressão bem simples relacionando-o com a distância à estrela.

tgπ = 1 UA / d.

Como para ângulos pequenos (π << 1 rad) a tangente é numericamente igual ao próprio ângulo expresso em radianos, temos que:

tgπ = π(rad) = 1 UA / d.

Como antecipado, a definição de paralaxe dada acima usa como linha de base o diâmetro da órbita da Terra em torno do Sol. Se usarmos a definição de parsec, a expressão acima se simplifica ainda mais:

π(") = 1 / d (pc)

Vale notar que o valor de π acima representa o deslocamento da estrela quando observada em dois dias do ano separados por 6 meses. De um dia para o outro o deslocamento na posição de um astro devido ao movimento orbital da Terra é muito menor. Na verdade, como esta última descreve uma elipse em torno do Sol, o reflexo deste movimento na posição de estrelas próximas será também uma elipse cujo semi-eixo maior é dado por π. A posição da estrela, portanto, varia continuamente e com periodicidade de um ano.

Movimento Próprio

Catálogos de Estrelas e Atlases na Web

Posições de estrelas corrigidas para todos ou parte dos efeitos citados nesta duas últimas seções podem ser obtidas em catálogos estelares. Comumente estes catálogos listam um posição média para uma determinada época (por exemplo, 1950.0 ou 2000.5). Neste caso, estas posições estão corrigidas apenas para precessão e movimento próprio, que são efeitos de mais longo prazo. Os efeitos de aberração a paralaxe heliocêntrico tem periodicidade anual e têm que ser incorporados quando deseja-se fazer medidas precisas de posição em um determinado dia. Note que nem todas as estrelas têm distâncias e movimentos próprios conhecidos, o que impede que os efeitos de paralaxe e movimento próprio sejam incorporados em suas coordenadas. Uma lista de catálogos estelares está disponível pela internet em

   http://simbad.u-strasbg.fr/Simbad ou

   http://simbad.harvard.edu/Simbad

Fotografias e imagens de diferentes campos do céu podem ser encontradas em

    http://archive.stsci.edu/dss/dss_form.html

Há ainda o Astronomical Almanac, que lista as posiçes de estrelas de referência de 10 em 10 dias do ano, levando em conta todos os efeitos, exceto pela nutação de curto período e refração. Efeitos de refração dependem da densidade e temperatura do ar e, portanto, não são incorporados nas coordenadas listadas para as estrelas de um catálogo. Na próxima seção apresentamos fórmulas gerais que permitem corrigir as coordenadas equatoriais de um astro para os diferentes efeitos

Redução das coordenadas astronômicas

(de coordenadas médias para aparentes)

Vimos, neste capítulo e no anterior, que há vários componentes de movimento, seja do eixo de rotação, dos pólos celestes ou dos próprios astros no céu, que levam à variação contínua e periódica de suas coordenadas equatoriais. Esses componentes de movimento incluem a precessão, a nutação, os movimentos do pólo, a aberração, paralaxe, movimento próprio e refração. A maioria destes componentes podem ser modelados e descritos por intermédio de fórmulas matemáticas ou pelo menos tabelados em efemérides. O cálculo das coordenadas de uma estrela para um dado instante, levando em conta estes fatores, é chamado de redução das coordenadas. Geralmente, dividimos o problema em duas partes: redução ao ano e redução ao dia.

Na redução ao ano, transformamos as coordenadas listadas em um catálogo, que se referem a um equinócio redondo, como 1950.0 ou 2000.0, em coordenadas para o equinócio referente ao início ou metade do ano corrente (ou seja, 1999.0 ou 2000.5, por exemplo). Essas transformações levam em conta apenas a precessão geral do eixo de rotação e o movimento próprio da estrela no intervalo de tempo decorrido. Elas são do tipo:

Δα = ΔT v_α + (ΔT)² v'_α/200 + (ΔT)³ v''_α / 10⁶

Δδ = ΔT v_δ + (ΔT)² v'_δ/200 + (ΔT)³ v''_δ / 10⁶

onde v_α, v'_α, v''_α, v_δ, v'_δ e v''_δ são termos listados nos próprios catálogos de coordenadas e ΔT é o intervalo de tempo entre o equinócio do catálogo e o do ano corrente.

Na redução ao dia levamos em conta as variações devidas à nutação, à aberração, ao paralaxe e também à precessão e ao movimento próprio residuais entre o equinócio do meio do ano e o dia considerado.

No Astronomical Almanac, por exemplo, encontramos fórmulas para a redução ao dia do tipo:

Δα = Aa + Bb + Cc + Dd + E + J tg ²δ

Δδ = Aa' + Bb' + Cc' + Dd' + J' tgδ

onde A, B, C, D, E, J e J' são os números Besselianos,, geralmente expressos em segundos de arco (exceto por E e J, expressos em s), listados para cada dia do ano. Já a,b,c,d,a',b',c' e d' são as chamadas constantes Besselianas da estrela, que dependem de suas coordenadas equatoriais médias (determinadas a partir de um catálogo pela redução ao ano):

a = m/n + sen α tan δ

b = cos α tan δ

c = cos α sec δ

d = sen α sec δ

a' = cos α

b' = - sen α

c' = tg ε cos δ - sen δ sen α

d' = cos α sen δ

Os números Besselianos variam com o dia do ano e são tabelados no Astronomical Almanac:

Exemplo de tabela com números Besselianos A, B, C, D e E

Exemplo de tabela com os números Besselianos de 2a ordem (J e J'), necessários apenas para estrelas com declinação alta.