Notas tomadas nas aulas remotas sobre Relatividade Geral
.5o Capítulo:
BS, Cap. 5, seções 5.1 a 5.8, p. 118-148.
Conceitos: gravitação e curvatura; álgebra e cálculo tensoriais; símbolos de Christoffel; derivada co-variante; relação entre símbolos de Christoffel e tensor métrico.
Exercícios: BS, seção 5.9: fazer problemas 5.7, 5.8, 5.11a,b,c, 5.17, 5.22 Prazo para entrega: 03/03/2022.
Aula gravada com solução de problemas do Capítulo 5 Dicas: Ex 5.1: assuma que a conversão de energia envolve uma
eficiência ε < 1 e encontre uma condição envolvendo ε, g e h
que evite a criação de um moto-contínuo. Aí mostre que essa condição
sempre pode ser violada, para qualquer ε, escolhendo-se um
h suficientemente alto. Ex 5.7: É só sair aplicando as
transformações, numa direção ou na outra. O ponto de partida são sempre
as expressões 5.3. Ex 5.8: (a) Use as expressões 5.3 e as transformações
do exercício 7; (b) No caso do ítem (i), expresse f em coordenadas
polares (usando 5.3) e aí calcule os componentes; no caso do ítem (ii) use
a transformação dada pela eq. 5.12; (c) No caso do ítem (i), use o
tensor métrico dado por 5.31 para baixar o índice dos vetores,
obtendo assim os componentes dos co-vetores; no caso do ítem (ii) aplique
5.12 sobre os componentes do co-vetor em coordenadas cartesianas. Ex 5.11: (a) Simplesmente faça as derivadas parciais;
(b) Aplique sobre o resultado do ítem (a) as transformações 5.8 e 5.13
sobre o componente (1 0)(vetorial) e (0 1)(co-vetorial), respectivamente.
Note que ao fazê-lo você está obtendo os componentes da
derivada co-variante do vetor V no sistema de coordenadas polares;
(c) Aplique a eq. 5.49 usando os símbolos de Christoffel
dados por 5.44. Note que a eq. 5.49 trabalha com um sistema
de coordenadas fixo, no caso o polar. Então o
primeiro termo do lado direito (derivada parcial) e os componentes do
vetor V no segundo termo são todos expressos em coordenadas polares.
Confira que os resultados de (c) são idênticos aos de (b);
(d) Contraia os componentes das derivadas parciais obtidas em (a);
(e) Contraia os componentes das derivadas covariantes obtidas em (b) ou (c).
Ex 5.22: Basta lembrar que a derivada co-variante do
tensor métrico é nula.
6o Capítulo: BS, Cap. 6, seções 6.1 a 6.7, p. 151-175 e Cap. 7. Conceitos: variedades contínuas e
diferenciáveis; variedades Riemanianas; aplicação da
métrica para medidas de tamanhos e volumes; transporte paralelo;
equação geodésica; tensor de curvatura de Riemann; tensor
de Ricci, escalar de Ricci, identidades de Bianchi e tensor de Einstein... Exercícios: BS, seção 6.9, exs 6.6, 6.13, 6.18, 6.24, 6.27. Prazo para entrega: 14/03/2022.
Aula gravada de exercícios do Capítulo 6 Dicas: Ex 6.12: Reescreva as derivadas de xα com
relação a λ aplicando a regra da cadeia, ou seja, como
o produto da derivada dxα / dφ pela derivada
dφ/dλ. Mostre que ao fazê-lo a equação
não se altera. Ex 6.13: Escreva o produto escalar dos vetores A e B em
notação tensorial e aplique a derivada com relação
ao parâmetro λ da curva. Mostre que esta derivada é nula.
Para isso lembre-se da condição que os componentes
de um vetor satisfazem quando ele sofre transporte paralelo; use também
o fato de que a derivada covariante do tensor métrico é nula.
Ex 6.16: Para deduzir a expressão 6.59, pense
nos dois primeiros termos de 6.58 como funções de
x1 avaliadas em a e a+δ a. Faça
o mesmo para os dois últimos termos, apenas substituindo a
variável da função. Para terminar de chegar em 6.59
lembre-se da definição de derivada e de que derivadas com
relação a coordenadas distintas são independentes.
Para sair de 6.59 e chegar a 6.60 lembre-se apenas que as integrais da
primeira são sobre intervalos infinitesimais. E por aí vai.
Ex 6.18: a) Parta da eq. 6.68 e aplique as
permutações referentes a 6.69 e 6.70. Na marra. Lembre-se
de que o tensor métrico é simétrico e que derivadas
parciais permutam de ordem. b) Lembre-se que tensores ou subespaços
tensoriais anti-simétricos têm os elementos da diagonal nulos,
de forma que o número de componentes não triviais independentes
corresponde ao número de componentes acima da diagonal. Lembre-se que
no caso de tensor simétrico, também os componentes da diagonal
são independentes e não nulos.
Ex 6.24: a) Parta da eq. 6.88 e aplique-a com
as diferentes permutações previstas em 6.89. Lembrando
da simetria do tensor métrico e da permutação da ordem
das derivadas parciais, mostre que todos os 12 termos envolvidos se cancelam
dois a dois.
Ex 6.28: a,b) Aplique a matriz de transformação
dos componentes da base, eq. 5.20. Aí construa o tensor métrico
como foi feito para coordenadas polares no final da seção 5.2.
c) Lembre-se que o produto do tensor (0 2)
pelo (2 0) resulta na matriz identidade (delta de Kronecker, em
notação tensorial).
Ex 6.30: Primeiro, construa o
tensor métrico exatamente como no problema 6.28, mas para
a transformação da base cartesiana para a cilíndrica.
Feito isso construa os símbolos de Christoffel usando 6.32 (que é
a mesmo que a 5.75). Aí aplique 6.63.
Note que se você aplicar
6.67 usando o tensor métrico direto algum termo pode ser não
nulo, pois 6.67 foi deduzida para um espaço localmente plano
Ex 6.33: a) Apenas prove que as novas coordenadas
satisfazem a equação da tri-esfera.
b) construa o tensor métrico da mesma maneira como nos problemas 6.28
e 6.30.
Ex 6.34: a) Parta da relação 6.32 e aplique
a contração solicitada. Lembre-se que o tensor métrico
é simétrico para provar que os 2 termos finais da 6.32
se anulam com a dita contração. b) Partindo da derivada covariante
do tensor métrico, que é nula, abra-a de acordo com 6.35.
Ajeite os termos e aplique 6.40. c) Não precisa fazer. d) Lembre que
os tensores métricos (2 0) e (0 2) sãa;o inversos um do outro, de forma
que seu produto é a matriz identidade. Aplique então
a derivada parcial a este produto, que é nula. d) Apenas aplique
6.35 ao tensor métrico e a igual a zero. 7o Capítulo: BS, Cap. 7, seções 7.1 a 7.5, p. 171-181. Conceitos: relação entre a
gravidade e variedades curvas; espaço-tempo no limite de pequena
curvatura; conservação de partículas, energia e momenta.
Aula com solução de exercícios do Capítulo 7 1a avaliação: cobrindo os Cap. 1, 2, 3, 5, 6 do BS, além do conceito de tensor energia-momentum (Cap. 4). Data: 22/03/2022.