Forças gravitacionais diferenciais ou Forças de maré

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Forças gravitacionais diferenciais

São forças que surgem dentro de um corpo extenso que esteja no campo gravitacional de outro, como resultado da variação do campo gravitacional ao longo do corpo.
São também chamadas de forças de maré.

Chamando

Cada partícula do corpo extenso está a uma distância (r+dr) ao outro corpo, e portanto sente uma força gravitacional (F + dF).

A diferença de força dF entre dois pontos separados por uma distância dr vale: dF = (2GMm)/(r3) dr (veja a dedução aqui).


Marés

Deformação na Terra, principalmente nos oceanos, devido às forças gr avitacionais diferenciais exercida pela Lua e pelo Sol sobre a Terra

Idéia básica: O puxão gravitacional sentido pelas partículas no lado mais próximo da Lua é maior do que puxão gravitacional sentido pelas partículas no centro que é maior do que puxão gravitacional sentido pelas partículas no lado mais distante da Lua. Portanto, Em relação ao centro da Terra, um lado está sendo puxado na direção da Lua e o outro lado está sendo puxado na direção contrária.


A atração gravitacional exercida pela Lua em diferentes pontos da Terra



Forças gravitacionais em diferentes pontos da Terra devido à Lua. As setas pretas representam a atração gravitacional exercida pela Lua no ponto de origem da seta; as setas vermelhas representam a força de maré no ponto. No detalhe, um esquema mostrando o cálculo da força de maré no ponto P da superfície da Terra.

Mare
Figura fora de escala da Terra e da Lua
Mare1

as marés acontecem duas vezes a cada 24h 48, que é a duração do dia lunar.

Tide
Figura fora de escala da Terra e da Lua


Quando a Lua está nas fases Nova e Cheia, as forças de maré provocadas pela Lua (setinhas vermelhas na figura da direita) e pelo Sol (setinhas amarelas) estão no mesmo sentido, de forma que a maré resultante é mais intensa. Quando a Lua está em quadratura, as forças de maré provocadas pela Lua e pelo Sol estão em sentido contrário, de forma que a maré resultante fica atenuada. As figuras não estão em escala e as deformações de maré muito exageradas.

Expressão da força de maré

Considere a atração gravitacional sentida por uma partícula em um ponto P na superfície da Terra, situado a uma distância r da Lua. Seja d a distância centro a centro entre Terra e Lua, e R o raio da Terra.

A componente na direção de d da força diferencial ∆F no ponto P em relação ao centro da Terra é:

tex2html_wrap_inline303

Onde:

Δr = Δrx + Δry = rx +ry - dx -dy

Como dy = 0, Δr = rx +ry - d (são vetores)

rx = rcosθ ry = rsenθ

Para θ muito pequeno (que acontece quando r é muito maior do que R), e Δr = Rcosφ

Considerando que a força gravitacional média da Lua sobre a Terra está aplicada no centro da Terra, a variação máxima nessa força acontece para os pontos que estão sobre a superfície da Terra, na direção da linha que une os centros da Terra e da Lua. A diferença de distância entre esses pontos e o centro da Terra é o próprio raio da Terra, R, e, conseqüentemente, a máxima aceleração de maré na Terra, devido à Lua, é

\frac{\Delta F}{m} = 2G\frac{M}{d^3} R

A força tex2html_wrap_inline241 pode ser decomposta em uma componente vertical à superfície da Terra, e uma componente horizontal. A componente vertical provoca apenas uma leve variação do peso das massas localizadas no ponto onde estamos calculando a força de maré; é a componente horizontal que provoca a maré propriamente dita.


As marés, a rotação sincronizada da Lua e a evolução do sistema Terra-Lua

A força de maré causada em uma part cula na Lua, pela Terra, é dada por:


displaymath319

e a força de maré causada em uma part cula na Terra, pela Lua, é dada por:
displaymath320

displaymath321

Ou seja, a força de maré na Lua provocada pela Terra é aproximadamente 20 vêzes a força de maré na Terra provocada pela Lua.

Altura do bojo de maré:

Seja aL a aceleração gravitacional de uma part cula de massa m na Terra, causada pela Lua. Se considerarmos que a energia potencial m g hL causada pelo deslocamento hL devido à maré da Lua sobre uma massa m tem que ser equilibrado pelo trabalho realizado pela força de maré devido à Lua m daL RT,

temos então:

m g hL = m daL RT

e
hL = (daL ⁄ g)RT

Sendo g é a aceleração gravitacional na superfície da Terra:

g = GMT
RT2
= 9,81 N/kg
e daL a aceleração de maré devido à Lua na Terra:

daL = 2 G ML RT ⁄ dT-L3

então
hL = 2 G (ML ⁄ MT)( RT4 ⁄ dT-L3)
Obtemos:
hL = 0,72 m
e similarmente para a maré do Sol:
hS = 0,32 m

Rotação sincronizada e a evolução do sistema Terra-Lua

Acredita-se que, no passado, o período de rotação da Lua era menor do que o seu período de translação em torno da Terra. Ao girar, ela tentava arrastar consigo os bojos de maré, que sempre ficavam alinhados na direção da Terra. Assim, havia um movimento relativo entre as diferentes partes da Lua, o qual gerava atrito, que por sua vez tendia a freiar a rotação. Devido a esse atrito a Lua foi perdendo energia de rotação até ficar com a rotação sincronizada, estado em que o período de rotação é exatamente igual ao período de revolução.

Não é só a Lua que tem rotação sincronizada; os dois satélites de Marte, Phobos e Deimos, cinco luas de Júpiter (incluindo os quatro satélites galileanos), 9 luas de Urano, a lua Tritão de Netuno, Plutão e Caronte, todos têm rotação sincronizada.

Mare

Na órbita circular e sincronizada não existe movimento relativo. A distorção ainda ocorre, mas há equil brio que não involve qualquer movimento relativo por qualquer parte da matéria.

No estado atual de evolução do sistema Terra-Lua, a Terra ainda tem que girar sob os bojos de maré, que ficam sempre apontados para a Lua. O atrito gerado faz com que a rotação da Terra diminua, aumentando o dia em 0,002 segundos por século.

Se o momentum angular de rotação da Terra diminui por fricção, então a Lua tem que aumentar seu momentum angular orbital, movendo-se para mais longe da Terra.

Vamos ver porque isso acontece.

\ell_{total} = \ell_{Terra}^{rot}+ \ell_{Lua}}^{rot} +\ell_{Terra-Lua}}^{transl}

O momentum angular de translação da Lua é dado por tex2html_wrap_inline329, onde r é o raio da órbita e v a velocidade orbital. Como tex2html_wrap_inline331 e o per&iacuste;odo tex2html_wrap_inline333, então:
displaymath322

displaymath323

ou seja, aumentando o raio da órbita r, aumenta o momentum angular orbital, compensando a redução do momentum angular de rotação (spin).

força que "empurra" a Lua para fora é a gravidade exercida pelo bojo de maré mais próximo da Lua, que fica sempre um pouco "adiantado" em relação à Lua porque é arrastado junto com a Terra no movimento de rotação. A massa de água do bojo acelera a Lua, que ganha velocidade tangencial, se afastando da Terra.

Lua se afasta
O bojo de maré mais próximo da Lua não aponta exatamente para ela, mas sim para um ponto um pouco mais adiante dela, pois é arrastado pela Terra no seu movimento de rotação (indicado pelas setas pespontadas). A força gravitacional entre o bojo e a Lua (setas entre bojo e Lua), tende a alinhar o bojo com a Lua, ao mesmo tempo em que acelera a Lua. O resultado é que a Terra freia sua rotação e a Lua ganha velocidade tangencial, aumentando o raio de sua órbita (setas em negrito).

No futuro distante, a sincronização da órbita da Terra com a Lua implicará em que o dia e o mês terão a mesma duração, que será igual a aproximadamente 35 dias atuais! No passado, a Terra devia girar mais rápido, e portanto o dia devia ser mais curto. De fato, estudos palentológicos indicam que tex2html_wrap_inline335 anos atrás o ano tinha 400 dias, o dia 21 horas, e as marés eram muito mais intensas, pois a Lua estava mais próxima. A evidência vem de certas criaturas marinhas cujas conchas têm bandas de crescimento diários e mensais, permitindo que os cientistas contem os números de bandas em um ciclo mensal em fósseis de idades diferentes.


 



 
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  Atividade
 
 

Procure no google sites que forneçam tábuas de maré (por exemplo este aqui, escolha um lugar e um mês, e anote os horários da maré alta e da maré baixa todos os dias desse mes. Faça um gráfico da altura máxima da maré em função do dia. Depois marque os dias das luas nova, cheia, quarto crescente e quarto minguante. Quão bem a fase da lua se relaciona com as marés?  


Limite de Roche e Precessão



 
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