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Métodos Computacionais no Ensino da Física
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4 Modellus II

4.1 Problema exemplo

Na aula anterior, foi estudado o movimento do projétil sob a ação da força gravitacional apenas. A força que o ar exerce sobre o projétil, conhecida como força de arraste, foi ignorada. Porém, sabe-se que, no caso, por exemplo, de uma bola de futebol, essa força afeta consideravelmente o movimento e deve ser levada em conta numa modelagem realista.

Não existe uma lei de força simples e universal para o arraste. O que pode ser afirmado a respeito desta força é que:

Essas características levam a escrever a força de arraste na forma

,
(4.1.1)
onde v é o módulo da velocidade e Φ é alguma função.

Adotar um modelo para o arraste significa, portanto, adotar uma forma funcional para Φ. A escolha mais simples é uma constante:

.
(4.1.2)
Utiliza-se a expressão arraste linear para este modelo, pois o módulo da força de arraste é então proporcional ao módulo da velocidade:
.
(4.1.3)
O coeficiente b é conhecido como coeficiente de arraste linear, expresso em N/(m/s)=kg/s. Ele depende principalmente da densidade do ar, do tamanho e da forma do projétil.

Como a força de arraste depende da velocidade, o movimento que resulta quando ela está presente não é uniformemente acelerado e as equações horárias utilizadas na aula anterior não são válidas. O que se pode afirmar é que o movimento é governado pela segunda lei de Newton:

,
(4.1.4)
onde m é a massa do projétil e o vetor força do lado direito é a força resultante
,
(4.1.5)
onde usa-se o subscrito g para indicar a a força gravitacional (peso).

Para poder resolver o problema com Modellus, é necessário escrever as componentes da força. Usando as Equações (4.1.4), (4.1.1), (4.1.2) e a expressão bem conhecida da força peso, tem-se

;
(4.1.6)
.
(4.1.7)
A segunda lei de Newton (4.1.4) pode ser escrita em componentes na forma
;
(4.1.8)
.
(4.1.9)
Essas equações devem ser complementadas por aquelas que relacionam posição e velocidade:
;
(4.1.10)
.
(4.1.11)

Para que seja possível obter uma solução bem definida destas equações, é necessário que as condições iniciais adequadas estejam fornecidas. Mais precisamente, é necessário estipular os valores das componentes da velocidade inicial {vx(0), vy(0)} e da posição inicial {x(0), y(0)}.

Como será visto na sequência da aula, se o problema for assim formulado, Modellus é capaz de resolvê-lo numericamente. Evidentemente, não se espera que alunos do ensino médio ou fundamental entendam equações diferenciais. O professor pode utilizar o software para montar um recurso visual com a ajuda do qual ele poderá discutir os efeitos do arraste sobre o movimento, sem assustar o aluno com formalismo desconhecido. Se o recurso puder ser facilmente manipulado e estiver acompanhado de orientações adequadas, ele poderá até ser utilizado pelo aluno num estudo independente.

Um dos efeitos do arraste sobre o movimento do projétil é que a velocidade horizontal não é mais constante, ficando cada vez menor até se tornar desprezível, se o movimento tiver duração suficiente. Para realizar esta condição, é interessante imaginar que o projétil é lançado de um lugar alto, tal como um penhasco ou a cobertura de um prédio. Nas mesmas condições, a velocidade vertical de queda não crescerá infinitamente, mas tenderá para um valor limite, conhecido como velocidade terminal vT, tal que a força peso esteja compensada pela força de arraste. No caso do arraste linear, ela é dada pela condição

  ou  .
(4.1.12)

Uma importante consequência da presença de arraste é que a energia mecânica total não é mais conservada. O trabalho (negativo) realizado pelo arraste sobre o projétil resulta na transformação contínua de uma parte da energia em calor. A potência assim dissipada é dada por

.
(4.1.13)
No caso do arraste linear [Equações (4.1.1) e (4.1.2)], isto resulta em
.
(4.1.14)